Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores V(t), A(t) e os escalares A_T(t) e AN(t).
c) R(t) = (cos(t) + t sen(t)) i + (sen(t) - t cos(t)) j, t ≥ 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a posição vetorial de uma partícula em função do tempo, dada por:
O conteúdo envolvido aqui é cinemática vetorial, especificamente o cálculo de velocidade e aceleração vetorial, além das componentes de aceleração tangencial e normal . Para resolver, precisamos derivar a posição em relação ao tempo para obter a velocidade e derivar a velocidade para obter a aceleração . Depois, vamos decompor a aceleração em suas componentes tangencial e normal.

Passo 2

Vamos calcular a velocidade , que é a primeira derivada da posição em relação ao tempo :
Derivando cada componente:
Para a componente :
Para a componente :
Então, a velocidade vetorial é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração , que é a segunda derivada da posição ou a primeira derivada da velocidade :
Derivando cada componente de :
Para a componente :
Para a componente :
Então, a aceleração vetorial é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração tangencial . Ela é dada pela derivada da velocidade em relação ao tempo, projetada na direção da velocidade. Basicamente, é a componente da aceleração na direção do movimento.
A fórmula para é:
Primeiro, calculamos o produto escalar :
A magnitude de é:
Então:

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar a aceleração normal . Ela é a componente da aceleração que é perpendicular à velocidade e está relacionada à mudança de direção do movimento.
A fórmula para é:
Primeiro, calculamos :
Sabemos que , então:
Como , temos:

Resposta

Os vetores e escalares são:

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