Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores
e os escalares
e
.
c)
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a posição vetorial de uma partícula em função do tempo, dada por:
O conteúdo envolvido aqui é cinemática vetorial, especificamente o cálculo de velocidade e aceleração vetorial, além das componentes de aceleração tangencial
e normal
. Para resolver, precisamos derivar a posição em relação ao tempo para obter a velocidade
e derivar a velocidade para obter a aceleração
. Depois, vamos decompor a aceleração em suas componentes tangencial e normal.
Passo 2
Vamos calcular a velocidade
, que é a primeira derivada da posição
em relação ao tempo
:
Derivando cada componente:
Para a componente
:
Para a componente
:
Então, a velocidade vetorial é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração
, que é a segunda derivada da posição
ou a primeira derivada da velocidade
:
Derivando cada componente de
:
Para a componente
:
Para a componente
:
Então, a aceleração vetorial é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a aceleração tangencial
. Ela é dada pela derivada da velocidade em relação ao tempo, projetada na direção da velocidade. Basicamente, é a componente da aceleração na direção do movimento.
A fórmula para
é:
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
A magnitude de
é:
Então:
Passo 5
Finalmente, vamos encontrar a aceleração normal
. Ela é a componente da aceleração que é perpendicular à velocidade e está relacionada à mudança de direção do movimento.
A fórmula para
é:
Primeiro, calculamos
:
Sabemos que
, então:
Como
, temos:
Resposta
Os vetores e escalares são:
Exercícios relacionados
Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
c)
c)
Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde
.
Ache o triedro móvel e a curvatura da curva dada no ponto, se existirem.
a)
a)
Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.