Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
;
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos verificar se o limite
existe. Esse tipo de problema está no campo do cálculo multivariável, especificamente envolvendo limites de funções com mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função conforme
e
se aproximam de zero ao mesmo tempo.
Passo 2
Uma maneira eficaz de lidar com limites de funções de duas variáveis é usar coordenadas polares. Isso porque, em coordenadas polares, podemos expressar
e
em termos de
(a distância até a origem) e
(o ângulo com o eixo
). As fórmulas de conversão são:
Passo 3
Vamos substituir essas expressões na função original:
Simplificando o numerador e o denominador:
Passo 4
Sabemos que
, então o denominador simplifica para
:
Passo 5
Agora, analisamos o comportamento quando
. Como
tende a zero muito rapidamente conforme
diminui, e
está sempre limitado entre 0 e 1, o produto todo também tende a zero:
Resposta
O limite é 0.
Exercícios relacionados
Ache o vetor posição
.
Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
d)
d)
Seja
uma curva, definida por
Parametrize
pelo comprimento de arco;
Seja
uma curva, definida por
.
Seja a reta tangente à curva
em um ponto arbitrário
. Considere o ponto
em que
intersecta o plano
. Mostre que
;
Seja