Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
lim (x, y) (0,0) x^4 y^4x^2+y^2;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos verificar se o limite existe. Esse tipo de problema está no campo do cálculo multivariável, especificamente envolvendo limites de funções com mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função conforme e se aproximam de zero ao mesmo tempo.

Passo 2

Uma maneira eficaz de lidar com limites de funções de duas variáveis é usar coordenadas polares. Isso porque, em coordenadas polares, podemos expressar x = r costheta e y = r sintheta em termos de (a distância até a origem) e (o ângulo com o eixo ). As fórmulas de conversão são:

Passo 3

Vamos substituir essas expressões na função original:
x^4 y^4x^2+y^2 = (r costheta)^4 (r sintheta)^4(r costheta)^2 + (r sintheta)^2
Simplificando o numerador e o denominador:
= r^4 cos^4theta cdot r^4 sin^4thetar^2 (cos^2theta + sin^2theta)

Passo 4

Sabemos que = r^8 cos^4theta sin^4thetar^2 = r^6 cos^4theta sin^4theta , então o denominador simplifica para :

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento quando limr 0 r^6 cos^4theta sin^4theta = 0 . Como tende a zero muito rapidamente conforme diminui, e está sempre limitado entre 0 e 1, o produto todo também tende a zero:

Resposta

O limite é 0.

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