Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos verificar se o limite existe. Esse tipo de problema está no campo do cálculo multivariável, especificamente envolvendo limites de funções com mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função conforme e se aproximam de zero ao mesmo tempo.

Passo 2

Uma maneira eficaz de lidar com limites de funções de duas variáveis é usar coordenadas polares. Isso porque, em coordenadas polares, podemos expressar e em termos de (a distância até a origem) e (o ângulo com o eixo ). As fórmulas de conversão são:

Passo 3

Vamos substituir essas expressões na função original:
Simplificando o numerador e o denominador:

Passo 4

Sabemos que , então o denominador simplifica para :

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento quando . Como tende a zero muito rapidamente conforme diminui, e está sempre limitado entre 0 e 1, o produto todo também tende a zero:

Resposta

O limite é 0.

Exercícios relacionados

Ache o vetor posição .
Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
d)
Seja uma curva, definida por
Parametrize pelo comprimento de arco;
Seja uma curva, definida por .
Seja a reta tangente à curva em um ponto arbitrário . Considere o ponto em que intersecta o plano . Mostre que ;