Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores V(t), A(t) e os escalares A_T(t) e AN(t).
a) R(t) = t * i + t^2 * j
b) R(t) = 2 sen(4t) i + 2 cos(4t) j
c) R(t) = (cos(t) + t sen(t)) i + (sen(t) - t cos(t)) j, t ≥ 0
d) R(t) = (t^3 - 3t) i + 3t^2 j

Passo 1

Resumo do Enunciado: Temos uma partícula movendo-se ao longo de uma curva descrita pela equação vetorial . Precisamos encontrar os vetores velocidade , aceleração e os componentes escalares da aceleração tangencial e normal . Para resolver isso, vamos usar derivadas de vetores e conceitos de movimento curvilíneo.

Passo 2

Encontrar o Vetor Posição :
Para a parte a), temos:
Isso descreve a posição da partícula em função do tempo .

Passo 3

Calcular o Vetor Velocidade :
O vetor velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo.

Passo 4

Calcular o Vetor Aceleração :
O vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo.
Isso mostra que a aceleração é constante na direção .

Passo 5

Calcular os Escalares e :
  1. Módulo da Velocidade :
  1. Aceleração Tangencial :
    É a derivada do módulo da velocidade em relação ao tempo.
  1. Aceleração Normal :
    Usa a relação entre a aceleração total e a aceleração tangencial.

Resposta

Os vetores são:
E os escalares são:

Exercícios relacionados

Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde t=0.
ll a) x=a cos t, y=a sen t & b) x=2+cos t, y=3+sen t c) x=2(cos t+t sen t), y=2(sen t-t cos t) & d) y=raizx^3
Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
ll a) R(t)=(t+1) i-t^2 j+(1-2 t) k & b) R(t)=sen 2 t i+cos 2 t j+2 raizt^3 k c) R(t)=e^t cos t i+e^t sen t j+e^t k & d) R(t)=2 t cos t i+5 t j+2 t sen t k
Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.
ll a) x^2+y^2+z^2-9 z=0 & b) x^2+y^2=9 c) x^2+y^2=2 z & d) x^2+y^2+z^2-8 x=0
Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
a) R(t) = t^2 * i + (2*t + 1) * j, t = 1
b) R(t) = (t^2 - 2t) i + (t^3 - t) j, t = 1
c) R(t) = 2e^t * i + 2e^(-t) * j, t = 0 d) R(t) = sent * i + sen(2t) * j, t = pi/2