Ache
usando diferenciação implícita:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa achar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, usando diferenciação implícita na equação
. Diferenciação implícita é uma técnica que a gente usa quando
está misturado com
de uma forma que não é fácil separar uma da outra.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, então quando diferenciamos algo que envolve
, precisamos usar a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos começar diferenciando o lado esquerdo:
Para
, podemos reescrever como
. Usando a regra da cadeia:
Agora, diferenciando
usando a regra do produto:
Então, a derivada de
fica:
E a derivada de
é simplesmente 1.
Passo 4
Agora, vamos diferenciar o lado direito da equação:
Reescrevendo
como
e aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, colocando tudo junto, temos:
Nosso objetivo agora é isolar
.
Passo 6
Vamos multiplicar todos os termos por
para eliminar os denominadores:
Simplificando os termos:
Passo 7
Agora, vamos juntar todos os termos que contêm
de um lado e os demais do outro lado:
Fatorando
:
Passo 8
Agora, isolamos
:
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por
:
Resposta
A derivada
é: