Ache d/y dx usando diferenciação implícita: raiz(xy) + x = raiz(y)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa achar a derivada de em relação a , ou seja, , usando diferenciação implícita na equação . Diferenciação implícita é uma técnica que a gente usa quando está misturado com de uma forma que não é fácil separar uma da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que é uma função de , então quando diferenciamos algo que envolve , precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos começar diferenciando o lado esquerdo:
Para , podemos reescrever como . Usando a regra da cadeia:
Agora, diferenciando usando a regra do produto:
Então, a derivada de fica:
E a derivada de é simplesmente 1.

Passo 4

Agora, vamos diferenciar o lado direito da equação:
Reescrevendo como e aplicando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, colocando tudo junto, temos:
Nosso objetivo agora é isolar .

Passo 6

Vamos multiplicar todos os termos por para eliminar os denominadores:
Simplificando os termos:

Passo 7

Agora, vamos juntar todos os termos que contêm de um lado e os demais do outro lado:
Fatorando :

Passo 8

Agora, isolamos :
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por :

Resposta

A derivada é:

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