Ache a equação da reta tangente à curva dada no ponto indicado. y = 1/((3 x - 2)^(2));

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva em um ponto específico. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e, em seguida, montar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente a uma curva em um ponto tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. A inclinação é dada pela derivada da função em relação a .
Então, vamos calcular a derivada de em relação a .

Passo 3

A função dada é .
Podemos reescrever essa função como:
Agora, vamos aplicar a regra da derivada para potências. A derivada de , onde é uma função de , é:

Passo 4

Aplicando a regra à nossa função:
Primeiro, encontramos :
Agora, aplicamos a regra:

Passo 5

Agora que temos a derivada, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos na derivada para obter , a inclinação.

Passo 6

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta tangente:
Substituindo e :

Passo 7

Simplificando a equação, temos a equação da reta tangente à curva no ponto :

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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