Calcule a derivada de cada função: f(x) = raiz((x^2 + 9)^4 + x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas, especificamente usando a regra da cadeia e a regra do poder. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização das partes que compõem a função composta:
onde e .

Passo 3

Vamos lembrar que a derivada de uma função raiz quadrada, , é dada por:
Aqui, .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de , ou seja, . Vamos derivar cada parte separadamente:

Passo 5

Para a primeira parte, , usamos a regra da cadeia. Seja , então:

Passo 6

Para a segunda parte, , aplicamos a regra do poder:

Passo 7

Agora, juntando as duas partes, temos:
Podemos fatorar para simplificar:

Passo 8

Voltando à derivada de , substituímos na fórmula da derivada da raiz quadrada:

Passo 9

Simplificando a expressão, o 2 no numerador e denominador se cancelam:

Resposta

A derivada da função é:

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