Mostre que para todo
vale que:
.
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer. Queremos mostrar que, para qualquer número complexo
, o módulo de
é igual a
elevado à parte real de
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de números complexos e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo
pode ser escrito na forma
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária de
. Aqui,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Utilizando a definição da exponencial para números complexos, temos:
Passo 4
Sabemos que
pode ser escrito usando a fórmula de Euler:
Portanto, substituindo na expressão anterior:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o módulo de
, que é
. O módulo de um número complexo
é dado por:
Aplicando isso a
:
Passo 6
Calculando o módulo dentro da expressão:
Portanto:
Resposta
Assim, mostramos que
.