Mostre que para todo z em C vale que: |e^z| = e^(Re(z)).

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer. Queremos mostrar que, para qualquer número complexo , o módulo de é igual a elevado à parte real de . Para isso, vamos usar conceitos básicos de números complexos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser escrito na forma , onde é a parte real e é a parte imaginária de . Aqui, .

Passo 3

Agora, vamos calcular . Utilizando a definição da exponencial para números complexos, temos:

Passo 4

Sabemos que pode ser escrito usando a fórmula de Euler:
Portanto, substituindo na expressão anterior:

Passo 5

Agora, queremos encontrar o módulo de , que é . O módulo de um número complexo é dado por:
Aplicando isso a :

Passo 6

Calculando o módulo dentro da expressão:
Portanto:

Resposta

Assim, mostramos que .

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