Ache d/y dx usando diferenciação implícita: y + raiz(x y) = 3 x^3

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar a derivada usando diferenciação implícita para a equação . Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, especialmente a diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar a derivada quando está relacionada a de forma não isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então ao derivar termos que envolvem , devemos usar a regra da cadeia, que nos permite diferenciar funções compostas.

Passo 3

Derivando o lado esquerdo da equação :
  • A derivada de em relação a é .
  • Para derivar , reescrevemos como e aplicamos a regra da cadeia e a regra do produto:
Portanto, a derivada do lado esquerdo é:

Passo 4

Derivando o lado direito da equação :

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:

Passo 6

Para simplificar, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar o denominador:

Passo 7

Agora, vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 8

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica :

Resposta

A derivada é:

Exercícios relacionados