Ache a equação da reta tangente à curva dada no ponto indicado. y = ((2 - x) / (4 + x))^3; -2,8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas e retas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função para encontrar a inclinação da reta no ponto dado e, então, montar a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. A inclinação da reta é dada pela derivada da função naquele ponto. Então, precisamos calcular , a derivada de em relação a .

Passo 3

A função que temos é . Para derivar essa função, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, se temos uma função composta, a derivada dela é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna.

Passo 4

Vamos definir , então . Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar . Temos:
Para derivar isso, usamos a regra do quociente:

Passo 6

Substituindo na expressão da derivada de :
Lembrando que .

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, substituímos na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 9

Agora que temos a inclinação e o ponto , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente é:

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