Ache a equação da reta tangente à curva dada no ponto indicado. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas e retas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função para encontrar a inclinação da reta no ponto dado e, então, montar a equação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. A inclinação da reta é dada pela derivada da função naquele ponto. Então, precisamos calcular , a derivada de em relação a .
Passo 3
A função que temos é . Para derivar essa função, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, se temos uma função composta, a derivada dela é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna.
Passo 4
Vamos definir , então . Agora, vamos derivar em relação a :
Passo 5
Agora, precisamos encontrar . Temos:
Para derivar isso, usamos a regra do quociente:
Passo 6
Substituindo na expressão da derivada de :
Lembrando que .
Passo 7
Agora, substituímos de volta na expressão:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, substituímos na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 9
Agora que temos a inclinação e o ponto , podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação: