Ache usando o método de derivação implícita.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar usando o método de derivação implícita. A equação que vamos trabalhar é:
Aqui, estamos lidando com derivadas de funções que estão multiplicadas e envolvem produtos de e . Para resolver isso, precisamos aplicar a derivação implícita, que nos permite encontrar quando está definida implicitamente em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a . Lembre-se de que é uma função de , então sempre que derivarmos algo que envolva , precisamos usar a regra da cadeia.
Vamos derivar o primeiro termo: .
Aplicamos a regra do produto:
Sabemos que , e para , usamos a regra da cadeia:
Então, o derivado do primeiro termo fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar o segundo termo da equação original: .
Novamente, usamos a regra do produto:
Sabemos que , e para , aplicamos a regra da cadeia:
Então, o derivado do segundo termo fica:

Passo 4

Agora, juntamos as derivadas dos dois termos e igualamos a zero (já que a derivada da direita da equação original, que é 0, continua sendo 0):
Nosso objetivo é isolar . Vamos reorganizar os termos para colocar todos os termos com de um lado.

Passo 5

Vamos expandir e agrupar os termos que contêm :
Agora, vamos juntar os termos com :

Passo 6

Finalmente, resolvemos para :
Podemos fatorar do denominador:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Determine a derivada das funções dada.
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