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usando o método de derivação implícita.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar
usando o método de derivação implícita. A equação que vamos trabalhar é:
Aqui, estamos lidando com derivadas de funções que estão multiplicadas e envolvem produtos de
e
. Para resolver isso, precisamos aplicar a derivação implícita, que nos permite encontrar
quando
está definida implicitamente em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a
. Lembre-se de que
é uma função de
, então sempre que derivarmos algo que envolva
, precisamos usar a regra da cadeia.
Vamos derivar o primeiro termo: .
Aplicamos a regra do produto:
Sabemos que
, e para , usamos a regra da cadeia:
Então, o derivado do primeiro termo fica:
Passo 3
Agora, vamos derivar o segundo termo da equação original:
.
Novamente, usamos a regra do produto:
Sabemos que
, e para
, aplicamos a regra da cadeia:
Então, o derivado do segundo termo fica:
Passo 4
Agora, juntamos as derivadas dos dois termos e igualamos a zero (já que a derivada da direita da equação original, que é 0, continua sendo 0):
Nosso objetivo é isolar
. Vamos reorganizar os termos para colocar todos os termos com
de um lado.
Passo 5
Vamos expandir e agrupar os termos que contêm
:
Agora, vamos juntar os termos com
:
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Podemos fatorar
do denominador:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
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