Determine a derivada das funções dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A questão pede para encontrar a derivada da função . A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente a regra da derivada de funções compostas e a derivada da função secante. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da função em relação a é dada por:
Aqui, é uma função de , no nosso caso, .

Passo 3

Agora, como nossa função é composta, ou seja, , precisamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia serve para derivar funções compostas e diz que:
Onde .

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Já sabemos que:
E, derivando em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos de volta na regra da cadeia:

Resposta

Portanto, a derivada da função é:

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Ache usando o método de derivação implícita.