Determine a derivada das funções dada.

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função . Esse exercício está na área de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas de funções compostas. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer as derivadas das funções logarítmica ( ) e trigonométrica ( ).

Passo 2

Primeiro, identificamos que a função é uma função composta, ou seja, uma função dentro da outra. Aqui, o logaritmo natural está aplicado à tangente de . Para derivar funções compostas, utilizamos a regra da cadeia.

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que, se temos uma função composta , a derivada dela é . Aplicando isso à nossa função:

Passo 4

Vamos derivar em relação a :
Em seguida, derivamos em relação a :

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, juntamos as duas derivadas:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Sabemos que e . Substituindo na expressão:

Resposta

A derivada da função é:

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