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usando o método de derivação implícita.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos a equação e precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, denotada por
. Para isso, vamos usar o método de derivação implícita, que é útil quando
está misturado com
na equação e não está isolado.
Passo 2
O método de derivação implícita nos permite diferenciar ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como uma função de
. Isso significa que, ao derivar termos que contêm
, precisamos aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos diferenciar cada termo da equação uma por uma.
-
Diferenciando :
- Aqui, usamos a regra do produto, que diz que
. - Seja
e . - Derivando
: . - Derivando
: (aplicando a regra da cadeia para ). - Então, a derivada de é:
- Aqui, usamos a regra do produto, que diz que
-
Diferenciando
: - Novamente, usamos a regra do produto.
- Seja
e . - Derivando
: . - Derivando
: . - Então, a derivada de
é:
Passo 4
Agora, juntamos as derivadas dos dois termos e igualamos a zero, já que a derivada de zero é zero:
Passo 5
Vamos isolar os termos que contêm
:
Fatorando
:
Passo 6
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados da equação:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
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