Ache d/y d/x usando o método de derivação implícita.
x sen(x y) + y cos(x y) = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos a equação e precisamos encontrar a derivada de em relação a , denotada por . Para isso, vamos usar o método de derivação implícita, que é útil quando está misturado com na equação e não está isolado.

Passo 2

O método de derivação implícita nos permite diferenciar ambos os lados da equação em relação a , tratando como uma função de . Isso significa que, ao derivar termos que contêm , precisamos aplicar a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos diferenciar cada termo da equação uma por uma.
  1. Diferenciando :
    • Aqui, usamos a regra do produto, que diz que .
    • Seja e .
    • Derivando : .
    • Derivando : (aplicando a regra da cadeia para ).
    • Então, a derivada de é:
  2. Diferenciando :
    • Novamente, usamos a regra do produto.
    • Seja e .
    • Derivando : .
    • Derivando : .
    • Então, a derivada de é:

Passo 4

Agora, juntamos as derivadas dos dois termos e igualamos a zero, já que a derivada de zero é zero:

Passo 5

Vamos isolar os termos que contêm :
Fatorando :

Passo 6

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados da equação:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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