Ache D11 f(x, y), D22 f(x, y) e mostre que D12 f(x,y) = D21 f(x,y).
a) f(x, y) = x^2/y - y/x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as segundas derivadas parciais de , especificamente e . Além disso, vamos mostrar que as derivadas mistas e são iguais. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e derivadas de ordens superiores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que significa a segunda derivada de em relação a , ou seja, . Da mesma forma, é a segunda derivada em relação a , e e são as derivadas mistas.

Passo 3

Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de em relação a , que é .
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial em rela��ão a , ou seja, .
Derivando em relação a :
Então, .

Passo 5

Vamos agora encontrar a primeira derivada parcial de em relação a , que é .
Derivando em relação a :

Passo 6

Em seguida, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a , ou seja, .
Derivando em relação a :
Portanto, .

Passo 7

Agora, vamos encontrar as derivadas mistas e e mostrar que elas são iguais.
Primeiro, derivamos em relação a :
Derivando em relação a :
Agora, derivamos em relação a :
Derivando em relação a :
Perceba que , então as derivadas mistas são iguais.

Resposta

As segundas derivadas parciais são:
E mostramos que:

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a) 3 x^2+y^2+z^2-3 x y+4 x z-15=0
Ache D11 f(x, y), D22 f(x, y) e mostre que D12 f(x,y) = D21 f(x,y).
b) f(x, y) = e^(2 x) sen(y)
Ache as derivadas parciais indicadas.
b) f(x, y, z) = sen(x y z) ; f23(x, y, z), f12(x, y, z)