Ache
e mostre que
.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as segundas derivadas parciais de
, especificamente
e
. Além disso, vamos mostrar que as derivadas mistas
e
são iguais. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e derivadas de ordens superiores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
significa a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
. Da mesma forma,
é a segunda derivada em relação a
, e
e
são as derivadas mistas.
Passo 3
Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial em rela��ão a
, ou seja,
.
Derivando
em relação a
:
Então,
.
Passo 5
Vamos agora encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Derivando
em relação a
:
Passo 6
Em seguida, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Derivando
em relação a
:
Portanto,
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar as derivadas mistas
e
e mostrar que elas são iguais.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Derivando em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Derivando em relação a
:
Perceba que
, então as derivadas mistas são iguais.
Resposta
As segundas derivadas parciais são:
E mostramos que:
Exercícios relacionados
A distância de Plutão até o Sol é
no periélio e
no afélio. Encontre a excentricidade da órbita de Plutão.
Suponha que a equação dada defina z como uma função de x e y. Derive implicitamente para encontrar
e
.
a)
a)
Ache
e mostre que
.
b)
b)
Ache as derivadas parciais indicadas.
b)
b)