Suponha que a equação dada defina z como uma função de x e y. Derive implicitamente para encontrar partial zpartial x e partial zpartial y.
a) 3 x^2+y^2+z^2-3 x y+4 x z-15=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e a partir de uma equação que envolve essas três variáveis. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente de diferenciação implícita. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e derivar cada termo da equação em relação a e .

Passo 2

Vamos começar entendendo que 3x^2 + y^2 + z^2 - 3xy + 4xz - 15 = 0 é uma função de e , ou seja, . A equação dada é:
Nosso objetivo é derivar essa equação em relação a e depois em relação a , tratando como uma função de e .

Passo 3

Primeiro, vamos derivar toda a equação em relação a ddx(3x^2) + ddx(y^2) + ddx(z^2) - ddx(3xy) + ddx(4xz) - ddx(15) = 0 . Aplicamos a derivada termo a termo:
6x + 0 + 2zpartial zpartial x - 3y + 4z + 4xpartial zpartial x - 0 = 0
Calculando cada derivada:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos que contêm (2z + 4x)partial zpartial x + 6x - 3y + 4z = 0 e os demais:
(2z + 4x)partial zpartial x = -6x + 3y - 4z
Para isolar partial zpartial x = -6x + 3y - 4z2z + 4x , movemos os outros termos para o outro lado:
E então, dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Agora, vamos derivar a mesma equação em relação a ddy(3x^2) + ddy(y^2) + ddy(z^2) - ddy(3xy) + ddy(4xz) - ddy(15) = 0 :
0 + 2y + 2zpartial zpartial y - 3x + 4xpartial zpartial y - 0 = 0
Calculando cada derivada:

Passo 6

Agrupando os termos com (2z + 4x)partial zpartial y + 2y - 3x = 0 e os demais:
(2z + 4x)partial zpartial y = -2y + 3x
Isolando partial zpartial y = -2y + 3x2z + 4x :
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -6x + 3y - 4z2z + 4x
partial zpartial y = -2y + 3x2z + 4x

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