Suponha que a equação dada defina z como uma função de x e y. Derive implicitamente para encontrar
e
.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
a partir de uma equação que envolve essas três variáveis. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente de diferenciação implícita. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e derivar cada termo da equação em relação a
e
.
Passo 2
Vamos começar entendendo que
é uma função de
e
, ou seja,
. A equação dada é:
Nosso objetivo é derivar essa equação em relação a
e depois em relação a
, tratando
como uma função de
e
.
Passo 3
Primeiro, vamos derivar toda a equação em relação a
. Aplicamos a derivada termo a termo:
Calculando cada derivada:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
e os demais:
Para isolar
, movemos os outros termos para o outro lado:
E então, dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, vamos derivar a mesma equação em relação a
:
Calculando cada derivada:
Passo 6
Agrupando os termos com
e os demais:
Isolando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Calcule
, onde R é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo y .
Ache a diferencial total
.
A distância de Plutão até o Sol é
no periélio e
no afélio. Encontre a excentricidade da órbita de Plutão.
Ache
e mostre que
.
a)
a)