Ache
e mostre que
.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as segundas derivadas parciais de . Especificamente, vamos calcular
, que é a segunda derivada em relação a
,
, que é a segunda derivada em relação a
, e também mostrar que as derivadas mistas
e
são iguais. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções exponenciais e trigonométricas em várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
, que é a primeira derivada de
em relação a
. A função tem
como uma constante quando derivamos em relação a
.
A derivada de
em relação a
é
. Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
novamente.
Derivando em relação a
, temos:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular
, que é a primeira derivada de
em relação a
. Aqui,
é tratado como uma constante.
A derivada de em relação a
é
. Então,
Passo 5
Agora, vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
novamente.
Derivando
em relação a
, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular as derivadas mistas
e
e mostrar que elas são iguais.
Primeiro, encontramos
, que é a derivada de
em relação a
.
Derivando em relação a
, temos:
Agora, encontramos
, que é a derivada de
em relação a
.
Derivando
em relação a
, temos:
Como
, mostramos que as derivadas mistas são iguais.
Resposta
e