Ache
e mostre que
.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as segundas derivadas parciais de . Especificamente, vamos calcular
, que é a segunda derivada em relação a
,
, que é a segunda derivada em relação a
, e também mostrar que as derivadas mistas
e
são iguais. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções exponenciais e trigonométricas em várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
, que é a primeira derivada de
em relação a
. A função tem
como uma constante quando derivamos em relação a
.
A derivada de
em relação a
é
. Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
novamente.
Derivando em relação a
, temos:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular
, que é a primeira derivada de
em relação a
. Aqui,
é tratado como uma constante.
A derivada de em relação a
é
. Então,
Passo 5
Agora, vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
novamente.
Derivando
em relação a
, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular as derivadas mistas
e
e mostrar que elas são iguais.
Primeiro, encontramos
, que é a derivada de
em relação a
.
Derivando em relação a
, temos:
Agora, encontramos
, que é a derivada de
em relação a
.
Derivando
em relação a
, temos:
Como
, mostramos que as derivadas mistas são iguais.
Resposta
e
Exercícios relacionados
Ache
e mostre que
.
a)
a)
A distância de Plutão até o Sol é
no periélio e
no afélio. Encontre a excentricidade da órbita de Plutão.
Ache as derivadas parciais indicadas.
b)
b)
Use a
parte do T.F.C. para calcular as seguintes integrais:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)