Ache D11 f(x, y), D22 f(x, y) e mostre que D12 f(x,y) = D21 f(x,y).
b) f(x, y) = e^(2 x) sen(y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as segundas derivadas parciais de . Especificamente, vamos calcular , que é a segunda derivada em relação a , , que é a segunda derivada em relação a , e também mostrar que as derivadas mistas e são iguais. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções exponenciais e trigonométricas em várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar , que é a primeira derivada de em relação a . A função tem como uma constante quando derivamos em relação a .
A derivada de em relação a é . Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar , que é a derivada de em relação a novamente.
Derivando em relação a , temos:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular , que é a primeira derivada de em relação a . Aqui, é tratado como uma constante.
A derivada de em relação a é . Então,

Passo 5

Agora, vamos encontrar , que é a derivada de em relação a novamente.
Derivando em relação a , temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular as derivadas mistas e e mostrar que elas são iguais.
Primeiro, encontramos , que é a derivada de em relação a .
Derivando em relação a , temos:
Agora, encontramos , que é a derivada de em relação a .
Derivando em relação a , temos:
Como , mostramos que as derivadas mistas são iguais.

Resposta

e

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