Ache D11 f(x, y), D22 f(x, y) e mostre que D12 f(x,y) = D21 f(x,y).
c) f(x, y) = (x^2 + y^2) arctg(y/x)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem de uma função . Especificamente, queremos calcular , e mostrar que .
Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, principalmente as regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas parciais. Para encontrar as derivadas de segunda ordem, primeiro precisamos achar as derivadas de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem e .
A função é:
Para derivar em relação a , usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:
Agora, derivamos em relação a :
Calculando cada parte:
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem e .
Primeiro, , que é a derivada de em relação a :
Derivando termo a termo:
Portanto:
Agora, , que é a derivada de em relação a :
Derivando termo a termo:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos mostrar que . Isso significa que a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a .
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Observando as duas expressões:
Podemos reescrever como:
Então:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
E verificamos que:

Exercícios relacionados

Suponha que a equação dada defina z como uma função de x e y. Derive implicitamente para encontrar partial zpartial x e partial zpartial y.
b) z=(x^2+y^2) sen x z
Ache a derivada parcial indicada:
e) u = (t + e^x) / (y - e^t), x = 3 sent, y = ln(t) ; d/u dt
Ache as derivadas parciais indicadas.
c) f(r, s, t) = ln(r^2 + 4s^2 - 5t^2) ; f132(r, s, t), f122(r, s, t)
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
© Seja f(x) = ln(x^2), calcule f'(x) e f'(1).