Ache
e mostre que
.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem de uma função
. Especificamente, queremos calcular
,
e mostrar que
.
Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, principalmente as regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas parciais. Para encontrar as derivadas de segunda ordem, primeiro precisamos achar as derivadas de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem
e
.
A função é:
Para derivar em relação a
, usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:
Agora, derivamos em relação a
:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem
e
.
Primeiro,
, que é a derivada de
em relação a
:
Derivando termo a termo:
Portanto:
Agora,
, que é a derivada de
em relação a
:
Derivando termo a termo:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos mostrar que
. Isso significa que a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Observando as duas expressões:
Podemos reescrever
como:
Então:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são:
E verificamos que:
Exercícios relacionados
Suponha que a equação dada defina z como uma função de x e y. Derive implicitamente para encontrar
e
.
b)
b)
Ache a derivada parcial indicada:
e) sent,
e)
Ache as derivadas parciais indicadas.
c)
c)
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
© Seja , calcule
e
.
© Seja