Ache as derivadas parciais indicadas.
c) f(r, s, t) = ln(r^2 + 4s^2 - 5t^2) ; f132(r, s, t), f122(r, s, t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente achar duas derivadas parciais específicas da função . Estamos trabalhando com derivadas parciais de terceira ordem, especificamente e . Isso envolve calcular derivadas sucessivas em diferentes ordens com respeito às variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Derivadas parciais são aquelas em que derivamos a função em relação a uma variável, mantendo as outras constantes. Como estamos lidando com uma função de várias variáveis, vamos precisar calcular as derivadas em etapas, seguindo a ordem dos subscritos.

Passo 3

Vamos começar calculando as primeiras derivadas parciais de em relação a cada variável.
A função é:
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem necessárias para chegar nas derivadas de terceira ordem que o exercício solicita.
Para , precisamos seguir a ordem: primeiro derivar em relação a , depois a , e por último a .
Primeiro, derivamos em relação a :
Em seguida, derivamos em relação a :
Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos calcular , seguindo a ordem: primeiro derivar em relação a , depois a novamente, e por último a .
Primeiro, derivamos em relação a :
Em seguida, derivamos em relação a :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Simplificando ainda mais:
Portanto, .

Resposta

As derivadas parciais solicitadas são:

Exercícios relacionados

Ache D11 f(x, y), D22 f(x, y) e mostre que D12 f(x,y) = D21 f(x,y).
c) f(x, y) = (x^2 + y^2) arctg(y/x)
Suponha que a equação dada defina z como uma função de x e y. Derive implicitamente para encontrar partial zpartial x e partial zpartial y.
b) z=(x^2+y^2) sen x z
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
© Seja f(x) = ln(x^2), calcule f'(x) e f'(1).
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(m) Seja f(x) = tg(2/x), calcule f'(x) e f'(0).