Ache as derivadas parciais indicadas.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente achar duas derivadas parciais específicas da função
. Estamos trabalhando com derivadas parciais de terceira ordem, especificamente
e
. Isso envolve calcular derivadas sucessivas em diferentes ordens com respeito às variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Derivadas parciais são aquelas em que derivamos a função em relação a uma variável, mantendo as outras constantes. Como estamos lidando com uma função de várias variáveis, vamos precisar calcular as derivadas em etapas, seguindo a ordem dos subscritos.
Passo 3
Vamos começar calculando as primeiras derivadas parciais de
em relação a cada variável.
A função é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de segunda ordem necessárias para chegar nas derivadas de terceira ordem que o exercício solicita.
Para
, precisamos seguir a ordem: primeiro derivar em relação a
, depois a
, e por último a
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
, seguindo a ordem: primeiro derivar em relação a
, depois a
novamente, e por último a
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Simplificando ainda mais:
Portanto,
.
Resposta
As derivadas parciais solicitadas são:
Exercícios relacionados
Ache
e mostre que
.
c)
c)
Suponha que a equação dada defina z como uma função de x e y. Derive implicitamente para encontrar
e
.
b)
b)
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
© Seja , calcule
e
.
© Seja
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(m) Seja , calcule
e
.
(m) Seja