Suponha que a equação dada defina z como uma função de x e y. Derive implicitamente para encontrar partial zpartial x e partial zpartial y.
b) z=(x^2+y^2) sen x z

Passo 1

Então, a gente tem uma equação que relaciona as variáveis , e . O objetivo aqui é descobrir como muda em relação a e a , ou seja, encontrar as derivadas parciais e . Para isso, vamos usar a técnica de diferenciação implícita, que serve quando está misturado com outras variáveis na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que a gente tem:
z = (x^2 + y^2) sin(x) z
Essa equação mostra que está do lado esquerdo e também aparece multiplicado pelo termo do lado direito. Nosso próximo passo é isolar os termos com para facilitar a diferenciação.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para trazer todos os termos com z - (x^2 + y^2) sin(x) z = 0 para um lado:
z [1 - (x^2 + y^2) sin(x)] = 0
Podemos fatorar z = 0 nessa expressão:
Agora, para simplificar a diferenciação, vamos considerar que , então podemos dividir ambos os lados por esse termo:
No entanto, isso implicaria que , o que é uma solução trivial. Vamos então proceder diferenciando a equação original implicitamente sem isolar .

Passo 4

Vamos diferenciar ambos os lados da equação original em relação a partial zpartial x = partialpartial x [ (x^2 + y^2) sin(x) z ] e partial zpartial x = (2x sin(x) + (x^2 + y^2) cos(x)) z + (x^2 + y^2) sin(x) partial zpartial x , tratando partial zpartial x - (x^2 + y^2) sin(x) partial zpartial x = (2x sin(x) + (x^2 + y^2) cos(x)) z como uma função de partial zpartial x [ 1 - (x^2 + y^2) sin(x) ] = (2x sin(x) + (x^2 + y^2) cos(x)) z e partial zpartial x = (2x sin(x) + (x^2 + y^2) cos(x)) z1 - (x^2 + y^2) sin(x) .
Primeiro, diferenciando em relação a partial zpartial y = partialpartial y [ (x^2 + y^2) sin(x) z ] :
partial zpartial y = (2y sin(x)) z + (x^2 + y^2) sin(x) partial zpartial y
Aplicando a regra do produto do cálculo diferencial:
partial zpartial y - (x^2 + y^2) sin(x) partial zpartial y = 2y sin(x) z
Isolando partial zpartial y [ 1 - (x^2 + y^2) sin(x) ] = 2y sin(x) z :
partial zpartial y = 2y sin(x) z1 - (x^2 + y^2) sin(x)
Fatorando :
Finalmente, isolando :
Agora, vamos diferenciar em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Isolando :
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = (2x sin(x) + (x^2 + y^2) cos(x)) z1 - (x^2 + y^2) sin(x)
partial zpartial y = 2y sin(x) z1 - (x^2 + y^2) sin(x)

Exercícios relacionados

Ache a derivada parcial indicada:
e) u = (t + e^x) / (y - e^t), x = 3 sent, y = ln(t) ; d/u dt
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 4x - 6y - 2z + 15 e acima do retângulo R = {(x, y) | -1 <= x <= 2, -1 <= y <= 1}
Ache D11 f(x, y), D22 f(x, y) e mostre que D12 f(x,y) = D21 f(x,y).
c) f(x, y) = (x^2 + y^2) arctg(y/x)
Ache as derivadas parciais indicadas.
c) f(r, s, t) = ln(r^2 + 4s^2 - 5t^2) ; f132(r, s, t), f122(r, s, t)