Suponha que a equação dada defina z como uma função de x e y. Derive implicitamente para encontrar
e
.
b)
b)
Passo 1
Então, a gente tem uma equação que relaciona as variáveis
,
e
. O objetivo aqui é descobrir como
muda em relação a
e a
, ou seja, encontrar as derivadas parciais
e
. Para isso, vamos usar a técnica de diferenciação implícita, que serve quando
está misturado com outras variáveis na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que a gente tem:
Essa equação mostra que
está do lado esquerdo e também aparece multiplicado pelo termo
do lado direito. Nosso próximo passo é isolar os termos com
para facilitar a diferenciação.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para trazer todos os termos com
para um lado:
Podemos fatorar
nessa expressão:
Agora, para simplificar a diferenciação, vamos considerar que
, então podemos dividir ambos os lados por esse termo:
No entanto, isso implicaria que
, o que é uma solução trivial. Vamos então proceder diferenciando a equação original implicitamente sem isolar
.
Passo 4
Vamos diferenciar ambos os lados da equação original em relação a
e
, tratando
como uma função de
e
.
Primeiro, diferenciando em relação a
:
Aplicando a regra do produto do cálculo diferencial:
Isolando
:
Fatorando
:
Finalmente, isolando
:
Agora, vamos diferenciar em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Isolando
:
Fatorando
:
Finalmente, isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Ache a derivada parcial indicada:
e) sent,
e)
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano
e acima do retângulo
Ache
e mostre que
.
c)
c)
Ache as derivadas parciais indicadas.
c)
c)