Ache
e mostre que
.
d)
d)
Passo 1
O exercício pede para calcular as segundas derivadas parciais de segunda ordem da função
. Vamos precisar conhecer as regras de derivação para funções exponenciais, trigonométricas, arctangente e logaritmo natural. Além disso, vamos aplicar a derivação parcial em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, que é
.
A função
é:
Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é , já que é constante em relação a . - A derivada de
em relação a é , porque a derivada de é e é constante em relação a .
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
novamente, ou seja,
.
Derivando
em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é , aplicando a regra da cadeia.
Então:
Passo 4
Vamos agora encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Derivando
em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é , já que a derivada de é e é constante em relação a .
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
novamente, ou seja,
.
Derivando
em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é , aplicando a regra da potência.
Então:
Passo 6
Por fim, vamos mostrar que as derivadas cruzadas são iguais, ou seja,
.
Primeiro, encontramos
, que é a derivada de
em relação a
:
Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então:
Agora, encontramos
, que é a derivada de
em relação a
:
Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então:
Como
e
são iguais, mostramos que
.
Resposta
As segundas derivadas parciais são:
E as derivadas cruzadas são iguais:
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As funções são linearmente independentes?
Suponha que a equação dada defina z como uma função de x e y. Derive implicitamente para encontrar
e
.
c)
c)
Ache as derivadas parciais indicadas.
d)
d)
Calcule as integrais iteradas abaixo.
а)
а)