Ache D11 f(x, y), D22 f(x, y) e mostre que D12 f(x,y) = D21 f(x,y).
d) f(x, y) = e^x cos(y) + arctg(x) ln(y)

Passo 1

O exercício pede para calcular as segundas derivadas parciais de segunda ordem da função . Vamos precisar conhecer as regras de derivação para funções exponenciais, trigonométricas, arctangente e logaritmo natural. Além disso, vamos aplicar a derivação parcial em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a , que é .
A função é:
Derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é , já que é constante em relação a .
  • A derivada de em relação a é , porque a derivada de é e é constante em relação a .
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a novamente, ou seja, .
Derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é , aplicando a regra da cadeia.
Então:

Passo 4

Vamos agora encontrar a primeira derivada parcial de em relação a , que é .
Derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é , já que a derivada de é e é constante em relação a .
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a novamente, ou seja, .
Derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é , aplicando a regra da potência.
Então:

Passo 6

Por fim, vamos mostrar que as derivadas cruzadas são iguais, ou seja, .
Primeiro, encontramos , que é a derivada de em relação a :
Derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então:
Agora, encontramos , que é a derivada de em relação a :
Derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então:
Como e são iguais, mostramos que .

Resposta

As segundas derivadas parciais são:
E as derivadas cruzadas são iguais:

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