Suponha que a equação dada defina z como uma função de x e y. Derive implicitamente para encontrar
e
.
c)
c)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o enunciado está nos pedindo. Temos a equação:
Aqui,
é uma função de
e
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica usada quando
está definida dentro de uma equação envolvendo
e
.
Passo 2
Vamos começar encontrando
. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como uma constante e
como uma função de
.
Derivando o lado esquerdo:
Usaremos a regra do produto, que nos diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. Neste caso, temos três funções multiplicadas, mas podemos aplicar a regra sucessivamente.
Primeiro, derivamos
:
Usando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é
, onde
:
Derivando
em relação a
:
Agora, derivamos
:
Então, colocando tudo junto usando a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos isolar
. Vamos agrupar os termos que contêm
:
Fatorando
:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por
:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Expresse as equações paramétricas
como uma só equação vetorial da forma
(b) A equação vetorial na parte (a) define
como uma função vetorial. O domínio de
é
e
-
Ache a derivada parcial indicada:
f)
f)
As funções são linearmente independentes?
Ache
e mostre que
.
d)
d)