Suponha que a equação dada defina z como uma função de x e y. Derive implicitamente para encontrar partial zpartial x e partial zpartial y.
c) y e^x y z cos 3 x z=5

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o enunciado está nos pedindo. Temos a equação:
y e^x y z cos(3 x z) = 5
Aqui, é uma função de e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica usada quando está definida dentro de uma equação envolvendo e .

Passo 2

Vamos começar encontrando partialpartial x ( y e^x y z cos(3 x z) ) . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a y cdot partialpartial x ( e^x y z ) , tratando y e^x y z cdot partialpartial x (x y z) como uma constante e y e^x y z cdot (y z + x y partial zpartial x) como uma função de partialpartial x ( cos(3 x z) ) = -sin(3 x z) cdot (3 z + 3 x partial zpartial x) .
Derivando o lado esquerdo:
y e^x y z (y z + x y partial zpartial x) cos(3 x z) + y e^x y z (-sin(3 x z)) (3 z + 3 x partial zpartial x) = 0
Usaremos a regra do produto, que nos diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. Neste caso, temos três funções multiplicadas, mas podemos aplicar a regra sucessivamente.
Primeiro, derivamos :
Usando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é , onde :
Derivando em relação a :
Agora, derivamos :
Então, colocando tudo junto usando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos isolar y e^x y z cos(3 x z) cdot x y partial zpartial x - y e^x y z sin(3 x z) cdot 3 x partial zpartial x = - y e^x y z y z cos(3 x z) - y e^x y z sin(3 x z) cdot 3 z . Vamos agrupar os termos que contêm partial zpartial x ( y e^x y z x y cos(3 x z) - 3 x y e^x y z sin(3 x z) ) = - y e^x y z y z cos(3 x z) - 3 y e^x y z z sin(3 x z) :
Fatorando :

Passo 4

Agora, isolamos partial zpartial x = - y e^x y z y z cos(3 x z) - 3 y e^x y z z sin(3 x z) y e^x y z x y cos(3 x z) - 3 x y e^x y z sin(3 x z) :
partial zpartial x = - y z cos(3 x z) - 3 z sin(3 x z) x y cos(3 x z) - 3 x y sin(3 x z)
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por :

Resposta

A derivada parcial de partial zpartial x = - y z cos(3 x z) - 3 z sin(3 x z) x y cos(3 x z) - 3 x y sin(3 x z) em relação a é:

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