As funções são linearmente independentes?
Passo 1
Então, a gente tem um exercício perguntando se as funções
e
são linearmente independentes. Isso está relacionado ao estudo de independência linear em funções. A gente vai precisar lembrar que duas funções são linearmente independentes se nenhuma delas pode ser escrita como uma combinação linear da outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente independente. Se tivermos duas funções, digamos
e
, elas são linearmente independentes se a única solução para a equação
for todos os valores de
for
e
.
Passo 3
Vamos aplicar isso às nossas funções
e
. Queremos ver se existe algum número
e
, diferente de zero, que faça
para todo
.
Passo 4
Sabemos que
. Isso significa que
. Vamos tentar ver se
pode ser escrita como uma combinação linear de
.
Passo 5
Substituindo, temos
. Podemos reescrever isso como
, ou seja,
.
Passo 6
Isso mostra que existe uma relação linear entre
e
que não envolve apenas múltiplos escalares. Porém, para serem linearmente dependentes, precisaríamos de uma relação onde uma função é um múltiplo escalar da outra, o que não é o caso aqui.
Passo 7
Portanto, como não conseguimos expressar uma função como um múltiplo escalar da outra, concluímos que as funções
e
são linearmente independentes.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes.
Exercícios relacionados
Suponha que a equação dada defina z como uma função de x e y. Derive implicitamente para encontrar
e
.
c)
c)
Expresse as equações paramétricas
como uma só equação vetorial da forma
(b) A equação vetorial na parte (a) define
como uma função vetorial. O domínio de
é
e
-
Ache
e mostre que
.
d)
d)
Ache as derivadas parciais indicadas.
d)
d)