As funções são linearmente independentes?
cos^2(x) sen^2(x)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício perguntando se as funções e são linearmente independentes. Isso está relacionado ao estudo de independência linear em funções. A gente vai precisar lembrar que duas funções são linearmente independentes se nenhuma delas pode ser escrita como uma combinação linear da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente independente. Se tivermos duas funções, digamos f(x) e g(x), elas são linearmente independentes se a única solução para a equação for todos os valores de x for e .

Passo 3

Vamos aplicar isso às nossas funções e . Queremos ver se existe algum número e , diferente de zero, que faça para todo x.

Passo 4

Sabemos que . Isso significa que . Vamos tentar ver se pode ser escrita como uma combinação linear de .

Passo 5

Substituindo, temos . Podemos reescrever isso como , ou seja, .

Passo 6

Isso mostra que existe uma relação linear entre e que não envolve apenas múltiplos escalares. Porém, para serem linearmente dependentes, precisaríamos de uma relação onde uma função é um múltiplo escalar da outra, o que não é o caso aqui.

Passo 7

Portanto, como não conseguimos expressar uma função como um múltiplo escalar da outra, concluímos que as funções e são linearmente independentes.

Resposta

As funções e são linearmente independentes.

Exercícios relacionados

Suponha que a equação dada defina z como uma função de x e y. Derive implicitamente para encontrar partial zpartial x e partial zpartial y.
c) y e^x y z cos 3 x z=5
Expresse as equações paramétricas
x = 1/t, y = raiz(t), z = arcsen(t)
como uma só equação vetorial da forma
r = x(t) i + y(t) j + z(t) k
(b) A equação vetorial na parte (a) define r = r(t) como uma função vetorial. O domínio de r(t) é \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 e r(1/2) \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 -
Ache D11 f(x, y), D22 f(x, y) e mostre que D12 f(x,y) = D21 f(x,y).
d) f(x, y) = e^x cos(y) + arctg(x) ln(y)
Ache as derivadas parciais indicadas.
d) f(x, y, z) = arctg(3xy z) ; f_113(x, y, z), f_123(x, y, z)