Ache as derivadas parciais indicadas.
d) f(x, y, z) = arctg(3xy z) ; f_113(x, y, z), f_123(x, y, z)

Passo 1

Primeiro, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar as derivadas parciais de terceira ordem e . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de em relação a . Como é uma função composta, aplicamos a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para obter :
Aqui, usamos a regra do quociente:

Passo 4

Em seguida, derivamos em relação a para encontrar :
Aplicando a regra do quociente novamente:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial . Primeiro, derivamos em relação a :

Passo 6

Em seguida, derivamos em relação a :
Aplicando a regra do quociente:

Passo 7

Finalmente, derivamos em relação a para obter :
Mais uma vez, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais solicitadas são:

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