Calcule as integrais iteradas abaixo.
а) integral1^4 integral0^2 6 x^2-2 x d y d x

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a integral dupla . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre integrais iteradas. Vamos precisar entender como resolver integrais dentro de integrais, ou seja, integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é integrala^b c , dy = c times (b - a) . Note que nessa parte, a expressão integral0^2 (6x^2 - 2x) , dy = (6x^2 - 2x) times (2 - 0) = 2(6x^2 - 2x) não depende de , ou seja, é uma constante em relação a .
Quando a gente integra uma constante em relação a uma variável, simplesmente multiplica essa constante pelo intervalo de integração. A fórmula básica aqui é:
Então, aplicando isso:

Passo 3

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa. Ficamos com:
integral1^4 2(6x^2 - 2x) , dx
Vamos simplificar isso antes de integrar:
2(6x^2 - 2x) = 12x^2 - 4x
Então, a integral fica:
integral1^4 (12x^2 - 4x) , dx

Passo 4

Vamos resolver essa integral. Integramos termo a termo:
integral 12x^2 , dx = 12 times x^33 = 4x^3
integral 4x , dx = 4 times x^22 = 2x^2
Portanto, a integral completa é:
4x^3 - 2x^2 avaliada de 1 a 4

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração:
Para 4(4)^3 - 2(4)^2 = 4(64) - 2(16) = 256 - 32 = 224 :
4(1)^3 - 2(1)^2 = 4(1) - 2(1) = 4 - 2 = 2
Para 224 - 2 = 222 :
Subtraindo os resultados:

Resposta

A integral dupla vale 222.

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