Ache a derivada direcional de fem P, na direção de P para Q. (II) Ache um vetor unitário na direção em que f cresce mais rapidamente em P e determine a taxa de variação de f naquela direção.(III) Ache um vetor unitário na direção em que f decresce mais rapidamente em P e determine a taxa de variação de f naquela direção. f(x, y) = sen(2x - y), P(-pi/3, pi/6), Q = (0, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar algumas derivadas direcionais da função no ponto em diferentes direções. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente de derivadas direcionais e gradiente. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada direcional de no ponto na direção do vetor que vai de para . A derivada direcional mede a taxa de variação de nessa direção específica.

Passo 3

Para isso, precisamos primeiro encontrar o vetor que vai de para . Isso é feito subtraindo as coordenadas de das de :

Passo 4

Agora, vamos transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Primeiro calculamos a magnitude de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de e é dado pelas derivadas parciais:
Calculando as derivadas:
Então, no ponto :
Simplificando o argumento do cosseno:
Então:

Passo 6

A derivada direcional na direção de é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:

Passo 7

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de para é .

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