Ache a derivada direcional de fem
, na direção de
para
. (II) Ache um vetor unitário na direção em que f cresce mais rapidamente em
e determine a taxa de variação de
naquela direção.(III) Ache um vetor unitário na direção em que f decresce mais rapidamente em P e determine a taxa de variação de f naquela direção.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar algumas derivadas direcionais da função
no ponto
em diferentes direções. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente de derivadas direcionais e gradiente. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor que vai de
para
. A derivada direcional mede a taxa de variação de
nessa direção específica.
Passo 3
Para isso, precisamos primeiro encontrar o vetor que vai de
para
. Isso é feito subtraindo as coordenadas de
das de
:
Passo 4
Agora, vamos transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Primeiro calculamos a magnitude de
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de
e é dado pelas derivadas parciais:
Calculando as derivadas:
Então, no ponto
:
Simplificando o argumento do cosseno:
Então:
Passo 6
A derivada direcional na direção de
é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
para
é
.
Exercícios relacionados
Determine a derivada direcional de f em
na direção indicada:
Determine a derivada direcional de f em
na direção indicada:
a) ache a taxa de variação de
b) Ache a direção e o sentido que produz a taxa máxima de variação de
c) Qual é a taxa máxima de variação em P?
Uma chapa de metal está situada em um plano-xy, de modo que a temperatura
em (
) seja inversamente proporcional à distância da origem, e a temperatura em
é
.
a) Ache a taxa de variação de em
na direção de
.
b) Em que direção e sentido aumenta mais rapidamente em P ?
c) Em que direção e sentido decresce mais rapidamente em
?
d) Em que direção a taxa de variação é nula?
a) Ache a taxa de variação de
b) Em que direção e sentido
c) Em que direção e sentido
d) Em que direção a taxa de variação é nula?