Ache a derivada direcional de fem , na direção de para . (II) Ache um vetor unitário na direção em que f cresce mais rapidamente em e determine a taxa de variação de naquela direção.(III) Ache um vetor unitário na direção em que f decresce mais rapidamente em P e determine a taxa de variação de f naquela direção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar algumas derivadas direcionais da função no ponto em diferentes direções. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente de derivadas direcionais e gradiente. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada direcional de no ponto na direção do vetor que vai de para . A derivada direcional mede a taxa de variação de nessa direção específica.

Passo 3

Para isso, precisamos primeiro encontrar o vetor que vai de para . Isso é feito subtraindo as coordenadas de das de :

Passo 4

Agora, vamos transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Primeiro calculamos a magnitude de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de e é dado pelas derivadas parciais:
Calculando as derivadas:
Então, no ponto :
Simplificando o argumento do cosseno:
Então:

Passo 6

A derivada direcional na direção de é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:

Passo 7

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de para é .

Exercícios relacionados

Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:
Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:
potencial elétrico em é .
a) ache a taxa de variação de em na direção de para origem.
b) Ache a direção e o sentido que produz a taxa máxima de variação de em .
c) Qual é a taxa máxima de variação em P?
Uma chapa de metal está situada em um plano-xy, de modo que a temperatura em ( ) seja inversamente proporcional à distância da origem, e a temperatura em é .
a) Ache a taxa de variação de em na direção de .
b) Em que direção e sentido aumenta mais rapidamente em P ?
c) Em que direção e sentido decresce mais rapidamente em ?
d) Em que direção a taxa de variação é nula?