Ache a derivada direcional de fem
, na direção de
para
. (II) Ache um vetor unitário na direção em que f cresce mais rapidamente em
e determine a taxa de variação de
naquela direção.(III) Ache um vetor unitário na direção em que f decresce mais rapidamente em P e determine a taxa de variação de f naquela direção.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar algumas derivadas direcionais da função
no ponto
em diferentes direções. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente de derivadas direcionais e gradiente. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor que vai de
para
. A derivada direcional mede a taxa de variação de
nessa direção específica.
Passo 3
Para isso, precisamos primeiro encontrar o vetor que vai de
para
. Isso é feito subtraindo as coordenadas de
das de
:
Passo 4
Agora, vamos transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Primeiro calculamos a magnitude de
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de
e é dado pelas derivadas parciais:
Calculando as derivadas:
Então, no ponto
:
Simplificando o argumento do cosseno:
Então:
Passo 6
A derivada direcional na direção de
é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
para
é
.