Determine a derivada direcional de f em P na direção indicada: f(x, y, z) = z^2 * e^(x * y), P(-1, 2, 3), a = 3i + j - 5k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar a teoria de derivadas direcionais, que envolve calcular o gradiente da função e projetar na direção do vetor indicado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Então, vamos encontrar , e .
A função é .
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , , e nas derivadas parciais:
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Agora, vamos normalizar o vetor para obter o vetor unitário na direção de .
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Finalmente, usamos a fórmula da derivada direcional:
Calculamos o produto escalar entre o gradiente de em e o vetor unitário :
Simplificando os termos:

Resposta

A derivada direcional de em na direção de é:

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