Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar a teoria de derivadas direcionais, que envolve calcular o gradiente da função e projetar na direção do vetor indicado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Então, vamos encontrar , e .
A função é .
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente de é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , , e nas derivadas parciais:
Portanto, o gradiente no ponto é:
Passo 4
Agora, vamos normalizar o vetor para obter o vetor unitário na direção de .
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário na direção de é:
Passo 5
Finalmente, usamos a fórmula da derivada direcional:
Calculamos o produto escalar entre o gradiente de em e o vetor unitário :