Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar a teoria de derivadas direcionais, que envolve calcular o gradiente da função e projetar na direção do vetor indicado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Então, vamos encontrar , e .
A função é .
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , , e nas derivadas parciais:
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Agora, vamos normalizar o vetor para obter o vetor unitário na direção de .
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Finalmente, usamos a fórmula da derivada direcional:
Calculamos o produto escalar entre o gradiente de em e o vetor unitário :
Simplificando os termos:

Resposta

A derivada direcional de em na direção de é:

Exercícios relacionados

Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:
Podemos estimar a variação do valor de uma função f quando percorremos uma pequena distância ds a partir de um ponto em uma direção específica , pela fórmula . Nestas condições, estime:
A variação de , se o ponto se mover de uma distância de 0,2 unidade na direção do ponto
Ache a derivada direcional de fem , na direção de para . (II) Ache um vetor unitário na direção em que f cresce mais rapidamente em e determine a taxa de variação de naquela direção.(III) Ache um vetor unitário na direção em que f decresce mais rapidamente em P e determine a taxa de variação de f naquela direção.
potencial elétrico em é .
a) ache a taxa de variação de em na direção de para origem.
b) Ache a direção e o sentido que produz a taxa máxima de variação de em .
c) Qual é a taxa máxima de variação em P?