Uma chapa de metal está situada em um plano-xy, de modo que a temperatura
em (
) seja inversamente proporcional à distância da origem, e a temperatura em
é
.
a) Ache a taxa de variação de
em
na direção de
.
b) Em que direção e sentido
aumenta mais rapidamente em P ?
c) Em que direção e sentido
decresce mais rapidamente em
?
d) Em que direção a taxa de variação é nula?
a) Ache a taxa de variação de
b) Em que direção e sentido
c) Em que direção e sentido
d) Em que direção a taxa de variação é nula?
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos uma chapa de metal no plano xy onde a temperatura
em qualquer ponto
é inversamente proporcional à distância desse ponto à origem. Sabemos também que a temperatura no ponto
é
. Para resolver as questões propostas, vamos utilizar conceitos de cálculo de derivadas direcionais e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a relação da temperatura
. Como
é inversamente proporcional à distância à origem, podemos escrever:
Onde
é a constante de proporcionalidade que precisamos determinar.
Passo 3
Usando a informação dada no ponto
, sabemos que
. Substituindo na equação:
Então, a função da temperatura fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente de
, que nos dá as derivadas parciais em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
Portanto:
Passo 5
No ponto
, substituímos
e
:
Passo 6
Queremos achar a taxa de variação de
na direção do vetor
. Primeiro, normalizamos
:
A taxa de variação direcional é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção desejada:
Passo 7
A direção em que
aumenta mais rapidamente é dada pela direção do gradiente
. No ponto
, o gradiente é
. Portanto, a direção é na direção do vetor
. Simplificando, podemos dividir por 4:
O sentido é apontando na direção negativa de
e
.
Passo 8
A direção em que
decresce mais rapidamente é exatamente a direção oposta ao gradiente. Portanto, é na direção de
, ou simplificando:
O sentido é apontando na direção positiva de
e
.
Passo 9
A taxa de variação é nula em qualquer direção que seja perpendicular ao gradiente. Isso significa que a direção deve ser perpendicular a
. Uma direção perpendicular pode ser
, já que o produto escalar entre
e
é zero:
Portanto, a direção é
, ou simplificando:
Resposta
a) A taxa de variação de
em
na direção de
é
por unidade.
Exercícios relacionados
a) ache a taxa de variação de
b) Ache a direção e o sentido que produz a taxa máxima de variação de
c) Qual é a taxa máxima de variação em P?
Ache a derivada direcional de fem
, na direção de
para
. (II) Ache um vetor unitário na direção em que f cresce mais rapidamente em
e determine a taxa de variação de
naquela direção.(III) Ache um vetor unitário na direção em que f decresce mais rapidamente em P e determine a taxa de variação de f naquela direção.
Qual das alternativas abaixo indica o dominio da função
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Se o potencial elétrico em um ponto
do plano
é
então o vetor campo elétrico no ponto
é
. Suponha que
.
Em qual direção o potencial elétrico cresce mais rapidamente? E em qual direção ele decresce mais rapidamente?
Em qual direção o potencial elétrico cresce mais rapidamente? E em qual direção ele decresce mais rapidamente?