Uma chapa de metal está situada em um plano-xy, de modo que a temperatura em ( ) seja inversamente proporcional à distância da origem, e a temperatura em é .
a) Ache a taxa de variação de em na direção de .
b) Em que direção e sentido aumenta mais rapidamente em P ?
c) Em que direção e sentido decresce mais rapidamente em ?
d) Em que direção a taxa de variação é nula?

Passo 1

Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos uma chapa de metal no plano xy onde a temperatura em qualquer ponto é inversamente proporcional à distância desse ponto à origem. Sabemos também que a temperatura no ponto é . Para resolver as questões propostas, vamos utilizar conceitos de cálculo de derivadas direcionais e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a relação da temperatura . Como é inversamente proporcional à distância à origem, podemos escrever:
Onde é a constante de proporcionalidade que precisamos determinar.

Passo 3

Usando a informação dada no ponto , sabemos que . Substituindo na equação:
Então, a função da temperatura fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente de , que nos dá as derivadas parciais em relação a e :
Calculando as derivadas:
Portanto:

Passo 5

No ponto , substituímos e :

Passo 6

Queremos achar a taxa de variação de na direção do vetor . Primeiro, normalizamos :
A taxa de variação direcional é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção desejada:

Passo 7

A direção em que aumenta mais rapidamente é dada pela direção do gradiente . No ponto , o gradiente é . Portanto, a direção é na direção do vetor . Simplificando, podemos dividir por 4:
çã
O sentido é apontando na direção negativa de e .

Passo 8

A direção em que decresce mais rapidamente é exatamente a direção oposta ao gradiente. Portanto, é na direção de , ou simplificando:
çã
O sentido é apontando na direção positiva de e .

Passo 9

A taxa de variação é nula em qualquer direção que seja perpendicular ao gradiente. Isso significa que a direção deve ser perpendicular a . Uma direção perpendicular pode ser , já que o produto escalar entre e é zero:
Portanto, a direção é , ou simplificando:
çã

Resposta

a) A taxa de variação de em na direção de é por unidade.

Exercícios relacionados

potencial elétrico em é .
a) ache a taxa de variação de em na direção de para origem.
b) Ache a direção e o sentido que produz a taxa máxima de variação de em .
c) Qual é a taxa máxima de variação em P?
Ache a derivada direcional de fem , na direção de para . (II) Ache um vetor unitário na direção em que f cresce mais rapidamente em e determine a taxa de variação de naquela direção.(III) Ache um vetor unitário na direção em que f decresce mais rapidamente em P e determine a taxa de variação de f naquela direção.
Qual das alternativas abaixo indica o dominio da função
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Se o potencial elétrico em um ponto do plano é então o vetor campo elétrico no ponto é . Suponha que .
Em qual direção o potencial elétrico cresce mais rapidamente? E em qual direção ele decresce mais rapidamente?