Uma chapa de metal está situada em um plano-xy, de modo que a temperatura
em (
) seja inversamente proporcional à distância da origem, e a temperatura em
é
.
a) Ache a taxa de variação de
em
na direção de
.
b) Em que direção e sentido
aumenta mais rapidamente em P ?
c) Em que direção e sentido
decresce mais rapidamente em
?
d) Em que direção a taxa de variação é nula?
a) Ache a taxa de variação de
b) Em que direção e sentido
c) Em que direção e sentido
d) Em que direção a taxa de variação é nula?
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos uma chapa de metal no plano xy onde a temperatura
em qualquer ponto
é inversamente proporcional à distância desse ponto à origem. Sabemos também que a temperatura no ponto
é
. Para resolver as questões propostas, vamos utilizar conceitos de cálculo de derivadas direcionais e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a relação da temperatura
. Como
é inversamente proporcional à distância à origem, podemos escrever:
Onde
é a constante de proporcionalidade que precisamos determinar.
Passo 3
Usando a informação dada no ponto
, sabemos que
. Substituindo na equação:
Então, a função da temperatura fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente de
, que nos dá as derivadas parciais em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
Portanto:
Passo 5
No ponto
, substituímos
e
:
Passo 6
Queremos achar a taxa de variação de
na direção do vetor
. Primeiro, normalizamos
:
A taxa de variação direcional é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário na direção desejada:
Passo 7
A direção em que
aumenta mais rapidamente é dada pela direção do gradiente
. No ponto
, o gradiente é
. Portanto, a direção é na direção do vetor
. Simplificando, podemos dividir por 4:
O sentido é apontando na direção negativa de
e
.
Passo 8
A direção em que
decresce mais rapidamente é exatamente a direção oposta ao gradiente. Portanto, é na direção de
, ou simplificando:
O sentido é apontando na direção positiva de
e
.
Passo 9
A taxa de variação é nula em qualquer direção que seja perpendicular ao gradiente. Isso significa que a direção deve ser perpendicular a
. Uma direção perpendicular pode ser
, já que o produto escalar entre
e
é zero:
Portanto, a direção é
, ou simplificando:
Resposta
a) A taxa de variação de
em
na direção de
é
por unidade.