Determine a derivada direcional de f em P na direção indicada: f(x, y) = x^2 - 5xy + 3y^2, P(3, -1), u = (raiz(2) / 2)(i + j)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender de derivadas parciais e como calcular a derivada direcional usando o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função numa certa direção é calculada através do gradiente da função. O gradiente, representado por , é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e .
Então, vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente e o vetor de direção :
Vamos calcular isso:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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