Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender de derivadas parciais e como calcular a derivada direcional usando o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função numa certa direção é calculada através do gradiente da função. O gradiente, representado por , é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e .
Então, vamos calcular as derivadas parciais de :
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 4
A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente e o vetor de direção :
Vamos calcular isso:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção de é .