Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender de derivadas parciais e como calcular a derivada direcional usando o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função numa certa direção é calculada através do gradiente da função. O gradiente, representado por , é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e .
Então, vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente e o vetor de direção :
Vamos calcular isso:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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Podemos estimar a variação do valor de uma função f quando percorremos uma pequena distância ds a partir de um ponto em uma direção específica , pela fórmula . Nestas condições, estime:
A variação de , se o ponto se mover de uma distância de 0,2 unidade na direção do ponto
Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:
Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:
Ache a derivada direcional de fem , na direção de para . (II) Ache um vetor unitário na direção em que f cresce mais rapidamente em e determine a taxa de variação de naquela direção.(III) Ache um vetor unitário na direção em que f decresce mais rapidamente em P e determine a taxa de variação de f naquela direção.