O potencial elétrico V em (x, y, z) é V = x^2 + 4y^2 + 9z^2.
a) ache a taxa de variação de V em P = (2, -1, 3) na direção de P para origem.
b) Ache a direção e o sentido que produz a taxa máxima de variação de V em P.
c) Qual é a taxa máxima de variação em P?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o potencial elétrico . A gente vai trabalhar com cálculo multivariable, mais especificamente com derivadas direcionais e gradientes. Precisamos entender como encontrar a taxa de variação de em um ponto específico e nas direções dadas.

Passo 2

Parte a) Queremos achar a taxa de variação de no ponto na direção do ponto para a origem. Primeiro, vamos encontrar o vetor que aponta de para a origem, que é .

Passo 3

Para calcular a derivada direcional, precisamos do gradiente de . O gradiente é dado pelas derivadas parciais de em relação a , e :
No ponto :

Passo 4

Agora, precisamos transformar o vetor direção em um vetor unitário . Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 5

A taxa de variação direcional de na direção de é dada pelo produto escalar entre e :

Passo 6

Parte b) A direção que produz a taxa máxima de variação de no ponto é a direção do próprio gradiente . Para obter o vetor unitário nessa direção:
Então, a direção é aproximadamente com o sentido apontando na direção do gradiente.

Passo 7

Parte c) A taxa máxima de variação é simplesmente o módulo do gradiente no ponto , que já calculamos:

Resposta

a) A taxa de variação de em na direção para a origem é aproximadamente .
b) A direção que produz a taxa máxima de variação de em é , apontando na direção do gradiente.
c) A taxa máxima de variação em é aproximadamente .

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