potencial elétrico em é .
a) ache a taxa de variação de em na direção de para origem.
b) Ache a direção e o sentido que produz a taxa máxima de variação de em .
c) Qual é a taxa máxima de variação em P?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o potencial elétrico . A gente vai trabalhar com cálculo multivariable, mais especificamente com derivadas direcionais e gradientes. Precisamos entender como encontrar a taxa de variação de em um ponto específico e nas direções dadas.

Passo 2

Parte a) Queremos achar a taxa de variação de no ponto na direção do ponto para a origem. Primeiro, vamos encontrar o vetor que aponta de para a origem, que é .

Passo 3

Para calcular a derivada direcional, precisamos do gradiente de . O gradiente é dado pelas derivadas parciais de em relação a , e :
No ponto :

Passo 4

Agora, precisamos transformar o vetor direção em um vetor unitário . Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 5

A taxa de variação direcional de na direção de é dada pelo produto escalar entre e :

Passo 6

Parte b) A direção que produz a taxa máxima de variação de no ponto é a direção do próprio gradiente . Para obter o vetor unitário nessa direção:
Então, a direção é aproximadamente com o sentido apontando na direção do gradiente.

Passo 7

Parte c) A taxa máxima de variação é simplesmente o módulo do gradiente no ponto , que já calculamos:

Resposta

a) A taxa de variação de em na direção para a origem é aproximadamente .
b) A direção que produz a taxa máxima de variação de em é , apontando na direção do gradiente.
c) A taxa máxima de variação em é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Ache a derivada direcional de fem , na direção de para . (II) Ache um vetor unitário na direção em que f cresce mais rapidamente em e determine a taxa de variação de naquela direção.(III) Ache um vetor unitário na direção em que f decresce mais rapidamente em P e determine a taxa de variação de f naquela direção.
Determine a derivada direcional de f em na direção indicada:
Uma chapa de metal está situada em um plano-xy, de modo que a temperatura em ( ) seja inversamente proporcional à distância da origem, e a temperatura em é .
a) Ache a taxa de variação de em na direção de .
b) Em que direção e sentido aumenta mais rapidamente em P ?
c) Em que direção e sentido decresce mais rapidamente em ?
d) Em que direção a taxa de variação é nula?
Qual das alternativas abaixo indica o dominio da função
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.