potencial elétrico
em
é
.
a) ache a taxa de variação de
em
na direção de
para origem.
b) Ache a direção e o sentido que produz a taxa máxima de variação de
em
.
c) Qual é a taxa máxima de variação em P?
a) ache a taxa de variação de
b) Ache a direção e o sentido que produz a taxa máxima de variação de
c) Qual é a taxa máxima de variação em P?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o potencial elétrico
. A gente vai trabalhar com cálculo multivariable, mais especificamente com derivadas direcionais e gradientes. Precisamos entender como encontrar a taxa de variação de
em um ponto específico e nas direções dadas.
Passo 2
Parte a) Queremos achar a taxa de variação de
no ponto
na direção do ponto
para a origem. Primeiro, vamos encontrar o vetor que aponta de
para a origem, que é
.
Passo 3
Para calcular a derivada direcional, precisamos do gradiente de
. O gradiente
é dado pelas derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
No ponto
:
Passo 4
Agora, precisamos transformar o vetor direção
em um vetor unitário
. Primeiro, calculamos o módulo de
:
Então, o vetor unitário é:
Passo 5
A taxa de variação direcional de
na direção de
é dada pelo produto escalar entre
e
:
Passo 6
Parte b) A direção que produz a taxa máxima de variação de
no ponto
é a direção do próprio gradiente
. Para obter o vetor unitário nessa direção:
Então, a direção é aproximadamente
com o sentido apontando na direção do gradiente.
Passo 7
Parte c) A taxa máxima de variação é simplesmente o módulo do gradiente no ponto
, que já calculamos:
Resposta
a) A taxa de variação de
em
na direção para a origem é aproximadamente
.
b) A direção que produz a taxa máxima de variação de
em
é
, apontando na direção do gradiente.
c) A taxa máxima de variação em
é aproximadamente
.