Ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário U dado.
a) f(x, y) = 2 x^2 + 5 y^2 ; U = cos(pi/4) * i + sen(pi/4) * j

Passo 1

Vamos resolver a derivada direcional da função na direção do vetor unitário . Para isso, precisamos entender sobre derivadas direcionais e como calcular o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos considerar o vetor unitário

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente e o vetor :

Passo 6

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada direcional de na direção e sentido de é:

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Considere o campo vetorial F(x, y) = (2xy - 3)i + (x^2 + e^(2y))j no plano.
b) Encontre uma função potencial.
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(n) Seja f(x) = sec(2 x^3), calcule f'(x) e f'(0).
Calcule a integral de linha integralc y d s onde C a curva C: x=t^2, y=t, z=-t,-1 <= t <= 1.
Ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário U dado.
b) f(x, y) = 3 x^2 - 4 y^2 ; U = cos(pi/3) i + sen(pi/3) j