Considere o campo vetorial F(x, y) = (2xy - 3)i + (x^2 + e^(2y))j no plano.
b) Encontre uma função potencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por . O que o exercício está pedindo para a gente fazer é encontrar uma função potencial para esse campo. Isso significa que queremos achar uma função tal que suas derivadas parciais em relação a e nos deem os componentes do campo . Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, mais especificamente integração de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se existe uma função potencial para o campo vetorial , então:
Começamos integrando a primeira equação em relação a para encontrar :
Integrando termo a termo:
Aqui, é uma função que depende somente de e aparece porque, ao integrar em relação a , as constantes de integração podem depender de .

Passo 3

Agora, para encontrar , vamos usar a segunda equação que envolve a derivada parcial de em relação a :
Sabendo que , calculamos a derivada parcial:
Igualando às duas expressões para :
Percebemos que se cancela dos dois lados, ficando:
Agora, integramos em relação a para encontrar :
Onde é a constante de integração. Como estamos procurando apenas uma função potencial qualquer, podemos descartar a constante.

Passo 4

Com encontrada, substituímos de volta na expressão de :

Resposta

A função potencial é:

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