Calcule a integral de linha
onde
a curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que é
. A curva
está definida por
,
,
para
entre
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é
. Em cálculo de curvas no espaço,
representa um pequeno segmento de comprimento ao longo da curva. Para calcular
, usamos a derivada do vetor posição da curva em relação a
.
Passo 3
Vamos definir o vetor posição
da curva
:
Agora, derivamos cada componente em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Calcular a norma de
nos dá o
:
Então, temos:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 6
Observamos que a função
é uma função ímpar, porque:
Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero.