Calcule a integral de linha integralc y d s onde C a curva C: x=t^2, y=t, z=-t,-1 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que é . A curva está definida por , , para entre e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é . Em cálculo de curvas no espaço, representa um pequeno segmento de comprimento ao longo da curva. Para calcular , usamos a derivada do vetor posição da curva em relação a .

Passo 3

Vamos definir o vetor posição r(t) = ( t^2, , t, , -t ) da curva r'(t) = ( 2t, , 1, , -1 ) :
Agora, derivamos cada componente em relação a para encontrar :

Passo 4

Calcular a norma de | r'(t) | = raiz(2t)^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4t^2 + 1 + 1 = raiz4t^2 + 2 nos dá o d s = | r'(t) | , dt = raiz4t^2 + 2 , dt :
Então, temos:

Passo 5

Agora, substituímos integralC y , d s = integral-1^1 t cdot raiz4t^2 + 2 , dt e na integral original:

Passo 6

Observamos que a função f(-t) = (-t) cdot raiz4(-t)^2 + 2 = -t cdot raiz4t^2 + 2 = -f(t) é uma função ímpar, porque:
Quando integramos uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero.

Resposta

integralC y , d s = 0

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