Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(n) Seja f(x) = sec(2 x^3), calcule f'(x) e f'(0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de derivadas! O problema pede para encontrarmos a derivada da função e depois calcular o valor dessa derivada quando . Para isso, vamos usar as propriedades de derivadas, especialmente a regra da cadeia que é super útil quando temos funções compostas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar a função . A regra é:
Aqui, é uma função de . No nosso caso, .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Aplicando a regra do poder:

Passo 4

Com isso, podemos aplicar a regra da cadeia na nossa função original :
Então, simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Basta substituir na expressão que encontramos:
Simplificando cada parte:
Sabemos que:
Então:

Resposta

A derivada de é e, especificamente, .

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