Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(n) Seja f(x) = sec(2 x^3), calcule f'(x) e f'(0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de derivadas! O problema pede para encontrarmos a derivada da função e depois calcular o valor dessa derivada quando . Para isso, vamos usar as propriedades de derivadas, especialmente a regra da cadeia que é super útil quando temos funções compostas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar a função . A regra é:
Aqui, é uma função de . No nosso caso, .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Aplicando a regra do poder:

Passo 4

Com isso, podemos aplicar a regra da cadeia na nossa função original :
Então, simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Basta substituir na expressão que encontramos:
Simplificando cada parte:
Sabemos que:
Então:

Resposta

A derivada de é e, especificamente, .

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(l) Seja f(x) = tg(x), calcule f'(x) e f'(0).
Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(k) Seja f(x) = cos(2 x^3), calcule f'(x) e f'(0).
Considere o campo vetorial F(x, y) = (2xy - 3)i + (x^2 + e^(2y))j no plano.
b) Encontre uma função potencial.
Ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário U dado.
a) f(x, y) = 2 x^2 + 5 y^2 ; U = cos(pi/4) * i + sen(pi/4) * j