Ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário U dado.
b) f(x, y) = 3 x^2 - 4 y^2 ; U = cos(pi/3) i + sen(pi/3) j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e um vetor unitário . O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada direcional dessa função na direção e sentido do vetor . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função na direção de um vetor unitário é dada por:
Onde e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Essas derivadas nos mostram como a função muda quando movemos apenas na direção de ou .

Passo 4

Agora, precisamos dos componentes do vetor unitário . Dado :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos substituir , , e os componentes de na fórmula da derivada direcional:

Resposta

A derivada direcional da função na direção do vetor unitário é:

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha integralc y d s onde C a curva C: x=t^2, y=t, z=-t,-1 <= t <= 1.
Ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário U dado.
a) f(x, y) = 2 x^2 + 5 y^2 ; U = cos(pi/4) * i + sen(pi/4) * j
Ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário U dado.
d) f(x, y, z) = 6 x^2 - 2 x y + y z ; U = 3/7 i + 2/7 j + 6/7 k
Ache o gradiente da função dada.
d) f(x, y, z) = e^(2z) * (sen(x) - cos(y))