Ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário
dado.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar a derivada direcional da função
na direção e sentido do vetor unitário
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que nos ajuda a entender como a função muda em uma direção específica. Vamos precisar também calcular o gradiente da função
e, em seguida, fazer o produto escalar desse gradiente com o vetor unitário
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente de
, denotado por
, é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. No nosso caso, como
depende de
,
e
, o gradiente será:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora,
:
E por último,
:
Então, o gradiente
fica:
Passo 4
Agora que temos o gradiente, vamos usar a fórmula da derivada direcional. A derivada direcional de
na direção do vetor unitário
é dada pelo produto escalar do gradiente de
com
:
Substituindo
e
:
Passo 5
Vamos calcular esse produto escalar passo a passo:
Agora, distribuindo:
Simplificando cada termo:
Passo 6
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, a derivada direcional fica:
Resposta
A derivada direcional da função
na direção do vetor unitário
é:
Exercícios relacionados
Ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário
dado.
b)
b)
Calcule a integral de linha
onde
a curva
.
Ache o gradiente da função dada.
d)
d)
Calcule a integral do campo de vetores
ao longo da curva
.