Ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário U dado.
d) f(x, y, z) = 6 x^2 - 2 x y + y z ; U = 3/7 i + 2/7 j + 6/7 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar a derivada direcional da função na direção e sentido do vetor unitário .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional, que nos ajuda a entender como a função muda em uma direção específica. Vamos precisar também calcular o gradiente da função e, em seguida, fazer o produto escalar desse gradiente com o vetor unitário .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente de , denotado por , é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. No nosso caso, como depende de , e , o gradiente será:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, :
E por último, :
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora que temos o gradiente, vamos usar a fórmula da derivada direcional. A derivada direcional de na direção do vetor unitário é dada pelo produto escalar do gradiente de com :
Substituindo e :

Passo 5

Vamos calcular esse produto escalar passo a passo:
Agora, distribuindo:
Simplificando cada termo:

Passo 6

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, a derivada direcional fica:

Resposta

A derivada direcional da função na direção do vetor unitário é:

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