Ache o gradiente da função dada.
d) f(x, y, z) = e^(2z) * (sen(x) - cos(y))

Passo 1

Nesta questão, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é uma ferramenta do cálculo vetorial que nos indica a direção de maior crescimento da função. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Manteremos e constantes durante esse cálculo.

Passo 3

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a . Aqui, mantemos e constantes.

Passo 4

Por fim, calculamos a derivada parcial de em relação a . Nesta derivada, e são constantes.

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar o vetor gradiente. O gradiente de é dado pela combinação das derivadas parciais em cada direção.
Substituindo as derivadas calculadas:

Resposta

O gradiente da função é:

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Ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário U dado.
d) f(x, y, z) = 6 x^2 - 2 x y + y z ; U = 3/7 i + 2/7 j + 6/7 k
Ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário U dado.
b) f(x, y) = 3 x^2 - 4 y^2 ; U = cos(pi/3) i + sen(pi/3) j
Calcule a integral do campo de vetores F(x, y, z) = x^2 * i + 2 * x * y * j + 2 * k ao longo da curva r(t) = (t, t^2, t^3), 0 <= t <= 1.
Um fio possui o formato da semicircunferência superior x^2 + y^2 <= 1, y >= 0 e densidade linear em cada ponto do fio proporcional à distância do ponto à origem. Determine a massa e o centro de massa do fio.