Ache o gradiente da função dada.
d)
d)
Passo 1
Nesta questão, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é uma ferramenta do cálculo vetorial que nos indica a direção de maior crescimento da função. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Manteremos
e
constantes durante esse cálculo.
Passo 3
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
. Aqui, mantemos
e
constantes.
Passo 4
Por fim, calculamos a derivada parcial de
em relação a
. Nesta derivada,
e
são constantes.
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar o vetor gradiente. O gradiente de
é dado pela combinação das derivadas parciais em cada direção.
Substituindo as derivadas calculadas:
Resposta
O gradiente da função é:
Exercícios relacionados
Ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário
dado.
d)
d)
Ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário
dado.
b)
b)
Calcule a integral do campo de vetores
ao longo da curva
.
Um fio possui o formato da semicircunferência superior
e densidade linear em cada ponto do fio proporcional à distância do ponto à origem. Determine a massa e o centro de massa do fio.