Calcule a integral do campo de vetores
ao longo da curva
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que precisamos fazer aqui é calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
. O campo vetorial dado é
e a curva está parametrizada por
onde
varia de 0 a 1. Vamos precisar usar cálculo de integrais de linha e fazer umas substituições legais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular uma integral de linha para um campo vetorial. A fórmula é:
Basicamente, precisamos substituir a parametrização da curva na função
e depois fazer o produto escalar com a derivada da curva.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada da curva
. A curva é
, então derivando cada componente em relação a
, temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir a parametrização
na função
:
Passo 5
Em seguida, fazemos o produto escalar entre
e
:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão de
a
:
Vamos integrar termo por termo:
Passo 7
Substituindo os limites de integração:
Para somar essas frações, encontramos um denominador comum, que é 15:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Ache o gradiente da função dada.
d)
d)
Ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário
dado.
d)
d)
Um fio possui o formato da semicircunferência superior
e densidade linear em cada ponto do fio proporcional à distância do ponto à origem. Determine a massa e o centro de massa do fio.
Calcule a integral
onde
é uma curva suave que percorre a elipse
no sentido anti-horário, uma única vez.