Calcule a integral do campo de vetores F(x, y, z) = x^2 * i + 2 * x * y * j + 2 * k ao longo da curva r(t) = (t, t^2, t^3), 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que precisamos fazer aqui é calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva . O campo vetorial dado é e a curva está parametrizada por onde varia de 0 a 1. Vamos precisar usar cálculo de integrais de linha e fazer umas substituições legais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular uma integral de linha para um campo vetorial. A fórmula é:
Basicamente, precisamos substituir a parametrização da curva na função e depois fazer o produto escalar com a derivada da curva.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada da curva . A curva é , então derivando cada componente em relação a , temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir a parametrização na função :

Passo 5

Em seguida, fazemos o produto escalar entre e :

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de a :
Vamos integrar termo por termo:

Passo 7

Substituindo os limites de integração:
Para somar essas frações, encontramos um denominador comum, que é 15:

Resposta

O valor da integral é .

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