Ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário U dado.
c) f(x, y, z) = 3x^2 + y^2 - 4z^2 ; U = cos(pi/3) * i + cos(pi/4) * j + cos(2pi/3) * k

Passo 1

Vamos resumir o exercício: precisamos encontrar a derivada direcional da função na direção e sentido do vetor unitário . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais e o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função na direção de um vetor unitário é dada pelo produto escalar entre o gradiente de e o vetor . Ou seja:
O gradiente representa a direção de maior crescimento da função e é calculado pelas derivadas parciais de em relação a cada variável.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de . As derivadas parciais são:
Portanto, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos identificar os componentes do vetor unitário :
Calculando cada cosseno:
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar entre o gradiente e o vetor :
Simplificando:

Resposta

A derivada direcional da função na direção de é:

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