Ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário
dado.
c)
c)
Passo 1
Vamos resumir o exercício: precisamos encontrar a derivada direcional da função
na direção e sentido do vetor unitário
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais e o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função
na direção de um vetor unitário
é dada pelo produto escalar entre o gradiente de
e o vetor
. Ou seja:
O gradiente
representa a direção de maior crescimento da função e é calculado pelas derivadas parciais de
em relação a cada variável.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. As derivadas parciais são:
Portanto, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos identificar os componentes do vetor unitário
:
Calculando cada cosseno:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar entre o gradiente
e o vetor
:
Simplificando:
Resposta
A derivada direcional da função na direção de
é:
Exercícios relacionados
Dadas as equações
e
, determine a derivada indicada.
a)
a)
Resolva: Mostre que a igualdade abaixo é válida.
Calcule os seguintes limites:
c)
c)
Seja
, calcule a reta tangente a função
no ponto
.