Resolva: Mostre que a igualdade abaixo é válida.
ln 2 = 1/(1*2) + 1/(3*4) + 1/(5*6) + 1/(7*8) + ...

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente mostrar que a igualdade abaixo é verdadeira:
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e logaritmos naturais. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar termos que seguem um padrão específico e como relacionar isso com a função logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o padrão da série. Observamos que cada termo é da forma:
onde começa em 1 e vai aumentando (1, 2, 3, …). Então, nossos termos são:

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo da série usando frações parciais. Para qualquer termo , podemos escrever:
Isso porque:

Passo 4

Com isso, nossa série original fica:
Vamos expandir os primeiros termos para ver o que acontece:

Passo 5

Perceba que essa série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somados. Vamos ver:
Os termos negativos vão se cancelando com os termos positivos seguintes de uma série relacionada.

Passo 6

Sabemos que a série alternada dos inversos é o que define o logaritmo natural de 2:
Comparando com a nossa série telescópica, vemos que ela soma exatamente a mesma quantidade de termos positivos e negativos, resultando em:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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