Resolva: Mostre que a igualdade abaixo é válida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente mostrar que a igualdade abaixo é verdadeira:
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e logaritmos naturais. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar termos que seguem um padrão específico e como relacionar isso com a função logarítmica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o padrão da série. Observamos que cada termo é da forma:
onde
começa em 1 e vai aumentando (1, 2, 3, …). Então, nossos termos são:
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada termo da série usando frações parciais. Para qualquer termo
, podemos escrever:
Isso porque:
Passo 4
Com isso, nossa série original fica:
Vamos expandir os primeiros termos para ver o que acontece:
Passo 5
Perceba que essa série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somados. Vamos ver:
Os termos negativos
vão se cancelando com os termos positivos seguintes de uma série relacionada.
Passo 6
Sabemos que a série alternada dos inversos é o que define o logaritmo natural de 2:
Comparando com a nossa série telescópica, vemos que ela soma exatamente a mesma quantidade de termos positivos e negativos, resultando em:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Escreva a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
a)
a)
Determine os extremos relativos de
, se existirem.
f)
f)
Dadas as equações
e
, determine a derivada indicada.
a)
a)
Ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário
dado.
c)
c)