Resolva: Mostre que a igualdade abaixo é válida.
ln 2 = 1/(1*2) + 1/(3*4) + 1/(5*6) + 1/(7*8) + ...

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente mostrar que a igualdade abaixo é verdadeira:
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e logaritmos naturais. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar termos que seguem um padrão específico e como relacionar isso com a função logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o padrão da série. Observamos que cada termo é da forma:
onde começa em 1 e vai aumentando (1, 2, 3, …). Então, nossos termos são:

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo da série usando frações parciais. Para qualquer termo , podemos escrever:
Isso porque:

Passo 4

Com isso, nossa série original fica:
Vamos expandir os primeiros termos para ver o que acontece:

Passo 5

Perceba que essa série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somados. Vamos ver:
Os termos negativos vão se cancelando com os termos positivos seguintes de uma série relacionada.

Passo 6

Sabemos que a série alternada dos inversos é o que define o logaritmo natural de 2:
Comparando com a nossa série telescópica, vemos que ela soma exatamente a mesma quantidade de termos positivos e negativos, resultando em:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Escreva a equação da reta tangente à curva F(x, y) = 0 no ponto P.
a) F(x, y) = 2*x^3 - y^2 - 2*x^2*y + 1 ; P = (-1/(raiz(2)), 0)
Determine os extremos relativos de f, se existirem.
f) f(x, y) = sen(x + y) + sen(x) + sen(y); 0 <= x <= 2 pi; 0 <= y <= 2 pi
Dadas as equações F(x, y, u, v)=0 e G(x, y, u, v)=0, determine a derivada indicada.
a) F(x, y, u, v)=x+y^3+u^3+v^3, G(x, y, u, v)=x^3-y-u^4-v^4 ; partial upartial x
Ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário U dado.
c) f(x, y, z) = 3x^2 + y^2 - 4z^2 ; U = cos(pi/3) * i + cos(pi/4) * j + cos(2pi/3) * k