Seja f(x) = [sen(x) + cos(x)]^3, calcule a reta tangente a função f no ponto 0,1.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a função e queremos encontrar a reta tangente a essa função no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em um ponto específico, ou seja, a inclinação da reta tangente naquele ponto.
Nossa função é . Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, que é útil quando temos uma função composta (uma função dentro da outra).
A regra da cadeia diz que se temos , então a derivada .
Aplicando isso:
Aqui, derivamos o expoente 3 e multiplicamos pela derivada interna .

Passo 3

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Primeiro, calculamos :
Sabemos que:
Substituindo:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é 3.

Passo 4

Com a inclinação em mãos, podemos usar a equação da reta tangente, que é dada por:
Aqui, e . Substituindo os valores:

Resposta

A reta tangente à função no ponto é .

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