Seja
, calcule a reta tangente a função
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a função e queremos encontrar a reta tangente a essa função no ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em um ponto específico, ou seja, a inclinação da reta tangente naquele ponto.
Nossa função é . Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, que é útil quando temos uma função composta (uma função dentro da outra).
A regra da cadeia diz que se temos
, então a derivada
.
Aplicando isso:
Aqui, derivamos o expoente 3 e multiplicamos pela derivada interna .
Passo 3
Agora, vamos avaliar a derivada no ponto
para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Primeiro, calculamos
:
Sabemos que:
Substituindo:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é 3.
Passo 4
Com a inclinação em mãos, podemos usar a equação da reta tangente, que é dada por:
Aqui,
e
. Substituindo os valores:
Resposta
A reta tangente à função
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
c)
c)
Ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário
dado.
c)
c)
Ache
de modo que sejam contínuas as funções:
a) se
a)
Ache o valor da derivada direcional no ponto
para a função dada na direção e sentido de
.
c)
c)