Seja f(x) = [sen(x) + cos(x)]^3, calcule a reta tangente a função f no ponto 0,1.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos a função e queremos encontrar a reta tangente a essa função no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em um ponto específico, ou seja, a inclinação da reta tangente naquele ponto.
Nossa função é . Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, que é útil quando temos uma função composta (uma função dentro da outra).
A regra da cadeia diz que se temos , então a derivada .
Aplicando isso:
Aqui, derivamos o expoente 3 e multiplicamos pela derivada interna .

Passo 3

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Primeiro, calculamos :
Sabemos que:
Substituindo:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é 3.

Passo 4

Com a inclinação em mãos, podemos usar a equação da reta tangente, que é dada por:
Aqui, e . Substituindo os valores:

Resposta

A reta tangente à função no ponto é .

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites:
c) lim x pi2 x sen xx+1
Ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário U dado.
c) f(x, y, z) = 3x^2 + y^2 - 4z^2 ; U = cos(pi/3) * i + cos(pi/4) * j + cos(2pi/3) * k
Ache a de modo que sejam contínuas as funções:
a) f(x) = { a se x = 2, (x^3 - 8)/(x - 2) } se x != 2
Ache o valor da derivada direcional no ponto P0 para a função dada na direção e sentido de U.
c) f(x, y, z) = cos(xy) + sen(yz) ; U = -1/3 * i + 2/3 * j + 2/3 * k ; P0 = (2, 0, -3)