Dadas as equações F(x, y, u, v)=0 e G(x, y, u, v)=0, determine a derivada indicada.
a) F(x, y, u, v)=x+y^3+u^3+v^3, G(x, y, u, v)=x^3-y-u^4-v^4 ; partial upartial x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas equações envolvendo as variáveis F(x, y, u, v) = x + y^3 + u^3 + v^3 = 0 , G(x, y, u, v) = x^3 - y - u^4 - v^4 = 0 , e :
Nosso objetivo é encontrar a derivada parcial . Para isso, vamos usar a regra da cadeia e a diferenciação implícita, que nos ajudam a encontrar derivadas quando as variáveis estão interligadas por equações.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambas as equações em relação a ddx(u^3) = 3u^2 cdot partial upartial x , tratando partial Fpartial x = partialpartial x(x) + partialpartial x(y^3) + partialpartial x(u^3) + partialpartial x(v^3) = 0 e 1 + 0 + 3u^2 cdot partial upartial x + 3v^2 cdot partial vpartial x = 0 (1) como funções de partial Gpartial x = partialpartial x(x^3) - partialpartial x(y) - partialpartial x(u^4) - partialpartial x(v^4) = 0 . Isso significa que quando diferenciamos termos como 3x^2 - 0 - 4u^3 cdot partial upartial x - 4v^3 cdot partial vpartial x = 0 (2) , aplicamos a regra da cadeia:
Vamos diferenciar :
Agora, diferenciamos :

Passo 3

Agora temos um sistema de duas equações (1) e (2) com duas incógnitas: 1 + 3u^2 cdot partial upartial x + 3v^2 cdot partial vpartial x = 0 (1) e 3x^2 - 4u^3 cdot partial upartial x - 4v^3 cdot partial vpartial x = 0 (2) . Nosso foco é 4 + 12u^2 cdot partial upartial x + 12v^2 cdot partial vpartial x = 0 (1') , então vamos resolver o sistema.
Vamos reescrever as equações:
9x^2 - 12u^3 cdot partial upartial x - 12v^3 cdot partial vpartial x = 0 (2')
4 + 12u^2 cdot partial upartial x + 12v^2 cdot partial vpartial x + 9x^2 - 12u^3 cdot partial upartial x - 12v^3 cdot partial vpartial x = 0
Podemos resolver esse sistema usando métodos de álgebra, como substituição ou eliminação. Vamos usar a eliminação para isolar 4 + 9x^2 + 12u^2 cdot partial upartial x - 12u^3 cdot partial upartial x + 12v^2 cdot partial vpartial x - 12v^3 cdot partial vpartial x = 0 .
Multiplicamos a equação (1) por 4 e a equação (2) por 3 para igualar os coeficientes de 4 + 9x^2 + 12u^2(1 - u) cdot partial upartial x + 12v^2(1 - v) cdot partial vpartial x = 0 :
Agora, somamos as duas equações:
Simplificando:
Para facilitar, consideramos que as derivadas de e em relação a estão interligadas e focamos nos coeficientes para isolar .
No entanto, para simplificar ainda mais, assumimos que é uma função de , o que nos permite expressar em termos de . Porém, devido à complexidade, uma abordagem mais direta é usar determinantes (Regra de Cramer) para resolver o sistema.

Passo 4

Vamos organizar o sistema de equações lineares em termos de 3u^2 cdot partial upartial x + 3v^2 cdot partial vpartial x = -1 -4u^3 cdot partial upartial x - 4v^3 cdot partial vpartial x = -3x^2 e 3u^2 & 3v^2 -4u^3 & -4v^3 partial upartial x partial vpartial x = -1 -3x^2 :
partial upartial x = -1 & 3v^2 -3x^2 & -4v^3 3u^2 & 3v^2 -4u^3 & -4v^3
Podemos representar isso na forma de matriz:

[
(-1)(-4v^3) - (3v^2)(-3x^2) = 4v^3 + 9v^2x^2
3u^2(-4v^3) - 3v^2(-4u^3) = -12u^2v^3 + 12u^3v^2 = 12u^2v^2(u - v)

partial upartial x = 4v^3 + 9v^2x^212u^2v^2(u - v) = 4v + 9x^212u^2(u - v)
]
Para resolver, usamos a Regra de Cramer, que envolve determinantes. A derivada é dada por:
Calculando os determinantes:
Numerador:
Denominador:
Então:

Resposta

A derivada parcial partial upartial x = 4v + 9x^212u^2(u - v) é:

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