Dadas as equações e , determine a derivada indicada.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas equações envolvendo as variáveis , , e :
Nosso objetivo é encontrar a derivada parcial . Para isso, vamos usar a regra da cadeia e a diferenciação implícita, que nos ajudam a encontrar derivadas quando as variáveis estão interligadas por equações.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambas as equações em relação a , tratando e como funções de . Isso significa que quando diferenciamos termos como , aplicamos a regra da cadeia:
Vamos diferenciar :
Agora, diferenciamos :
Passo 3
Agora temos um sistema de duas equações (1) e (2) com duas incógnitas: e . Nosso foco é , então vamos resolver o sistema.
Vamos reescrever as equações:
Podemos resolver esse sistema usando métodos de álgebra, como substituição ou eliminação. Vamos usar a eliminação para isolar .
Multiplicamos a equação (1) por 4 e a equação (2) por 3 para igualar os coeficientes de :
Agora, somamos as duas equações:
Simplificando:
Para facilitar, consideramos que as derivadas de e em relação a estão interligadas e focamos nos coeficientes para isolar .
No entanto, para simplificar ainda mais, assumimos que é uma função de , o que nos permite expressar em termos de . Porém, devido à complexidade, uma abordagem mais direta é usar determinantes (Regra de Cramer) para resolver o sistema.
Passo 4
Vamos organizar o sistema de equações lineares em termos de e :
Podemos representar isso na forma de matriz:
[
]
Para resolver, usamos a Regra de Cramer, que envolve determinantes. A derivada é dada por:
Calculando os determinantes:
Numerador:
Denominador:
Então:
Resposta
A derivada parcial partial upartial x = 4v + 9x^212u^2(u - v) é: