Ache a derivada de:
. Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
. Depois disso, vamos usar essa derivada para achar a equação da reta tangente à curva dessa função no ponto
. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções com potências usando as regras de derivação básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a regra do poder na derivada. Se temos uma função da forma
, onde
é qualquer número real, a derivada
é dada por:
Isso significa que a gente multiplica pelo expoente e diminui o expoente em 1.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa regra a cada termo da função
:
-
Primeiro termo:
-
Segundo termo:
-
Terceiro termo:
-
Quarto termo:
-
Quinto termo:
Passo 4
Agora, vamos juntar todas as derivadas que encontramos para obter a derivada completa da função
:
Passo 5
Com a derivada em mãos, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
. Para isso, substituímos
na derivada
:
Simplificando:
Vamos transformar todos os termos para frações de denominador 4:
Somando:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 6
Agora, usamos a fórmula da equação da reta tangente:
Onde
e
. Substituindo:
Para deixar a equação mais arrumada, podemos distribuir o lado direito:
Somando 5 nos dois lados:
Convertendo 5 para fração com denominador 4:
Então:
Resposta
A derivada de
é
E a equação da reta tangente à curva no ponto
é