Ache a derivada de: f(x) = 1/x + 1/x^2 + x^(-3) + x^(3/2) + x^(-3/4). Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto 1,5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Depois disso, vamos usar essa derivada para achar a equação da reta tangente à curva dessa função no ponto . Para isso, vamos precisar entender como derivar funções com potências usando as regras de derivação básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra do poder na derivada. Se temos uma função da forma , onde é qualquer número real, a derivada é dada por:
Isso significa que a gente multiplica pelo expoente e diminui o expoente em 1.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa regra a cada termo da função :
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:
  4. Quarto termo:
  5. Quinto termo:

Passo 4

Agora, vamos juntar todas as derivadas que encontramos para obter a derivada completa da função :

Passo 5

Com a derivada em mãos, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, substituímos na derivada :
Simplificando:
Vamos transformar todos os termos para frações de denominador 4:
Somando:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 6

Agora, usamos a fórmula da equação da reta tangente:
Onde e . Substituindo:
Para deixar a equação mais arrumada, podemos distribuir o lado direito:
Somando 5 nos dois lados:
Convertendo 5 para fração com denominador 4:
Então:

Resposta

A derivada de é
E a equação da reta tangente à curva no ponto é

Exercícios relacionados