Valendo-se da resposta dada à questão imediatamente anterior, explica por que a derivada pode ser considerada um tipo particular de limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para explicar por que a derivada pode ser vista como um tipo específico de limite. Isso faz parte da matemática, mais especificamente do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma derivada e o que é um limite, além de como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um limite. Imagine que você está aproximando-se de um ponto específico, mas sem necessariamente chegar lá. O limite descreve o comportamento de uma função quando a variável se aproxima desse ponto. Por exemplo:
Isso significa que, à medida que
se aproxima de
,
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a derivada. A derivada de uma função em um ponto específico mede a taxa de variação instantânea dessa função naquele ponto. Em termos mais simples, é o quão rápido a função está mudando naquele ponto.
Passo 4
A derivada é definida formalmente usando um limite. A definição da derivada de uma função
em um ponto
é:
Aqui,
representa uma pequena mudança em
, e estamos olhando para a taxa de variação (
) à medida que
se aproxima de zero.
Passo 5
Vamos analisar essa definição. O que estamos fazendo é calcular o limite da razão diferença à medida que
fica cada vez menor, chegando perto de zero. Esse processo é exatamente o que um limite faz: determinar o comportamento da função quando a variável está se aproximando de um ponto específico.
Passo 6
Portanto, a derivada não é apenas uma operação isolada; ela é, na verdade, um exemplo específico de limite aplicado à taxa de variação de uma função. Está usando o conceito de limite para definir como a função se comporta em um ponto infinitesimalmente pequeno.
Resposta
A derivada pode ser considerada um tipo particular de limite porque ela é definida como o limite da taxa de variação da função conforme a mudança na variável se aproxima de zero. Em outras palavras, a derivada usa o conceito de limite para determinar a taxa de variação instantânea de uma função em um ponto específico.