Ache a derivada da função
. A partir daí calcule a integral a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer duas coisas aqui: primeiro, encontrar a derivada da função , e depois, calcular a integral definida de de
a
. Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas, especificamente a regra do produto, e também sobre integrais envolvendo funções trigonométricas.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada de . Como temos o produto de duas funções, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Aqui, e
.
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
e
:
Agora, aplicando a regra do produto:
Passo 3
Com a derivada encontrada, agora vamos calcular a integral definida:
Perceba que a expressão dentro da integral, , é igual a
, usando a identidade trigonométrica do ângulo duplo:
Então, a integral fica:
Agora, vamos integrar
. A integral de
é , onde
é constante. Aqui,
:
Como estamos calculando uma integral definida, vamos avaliar de
a
:
Sabemos que , então:
Resposta
A integral vale
.