Ache a derivada da função f(x)=sen(x) cos (x). A partir daí calcule a integral a seguir:
integral0^pi4(cos ^2(x)-sen^2(x)) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer duas coisas aqui: primeiro, encontrar a derivada da função , e depois, calcular a integral definida de de a . Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas, especificamente a regra do produto, e também sobre integrais envolvendo funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada de . Como temos o produto de duas funções, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de u'(x) = ddx sen(x) = cos(x) é v'(x) = ddx cos(x) = -sen(x) .
Aqui, e f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = cos(x) cos(x) + sen(x)(- sen(x)) = cos^2(x) - sen^2(x) .
Primeiro, vamos calcular as derivadas de e :
Agora, aplicando a regra do produto:

Passo 3

Com a derivada encontrada, agora vamos calcular a integral definida:
Perceba que a expressão dentro da integral, , é igual a integral0^pi4 ( cos^2(x) - sen^2(x) ) dx , usando a identidade trigonométrica do ângulo duplo:
Então, a integral fica:
cos(2x) = cos^2(x) - sen^2(x)
Agora, vamos integrar integral0^pi4 cos(2x) dx . A integral de integral cos(2x) dx = 12 sen(2x) + C é , onde [ 12 sen(2x) ]0^pi4 = 12 sen(2 cdot pi4) - 12 sen(0) = 12 sen( pi2 ) - 0 é constante. Aqui, 12 cdot 1 = 12 :
Como estamos calculando uma integral definida, vamos avaliar de a :
Sabemos que , então:

Resposta

A integral vale .

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