Ache a derivada parcial indicada:
b) V=pi x^2 y, x=cos z sen t, y=z^2 e^t ; partial Vpartial z, partial Vpartial t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais juntos! A gente tem uma função onde e são funções de e . Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é super importante quando temos funções compostas como essas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as relações entre as variáveis:
E a função principal é:
Nosso objetivo é encontrar e .

Passo 3

Vamos começar calculando partial Vpartial z = pi ( 2x partial xpartial z cdot y + x^2 partial ypartial z ) .
Usamos a regra da cadeia para derivadas parciais:
partial xpartial z = -sen z cdot sen t
Agora, precisamos encontrar partial ypartial z = 2z e^t e partial Vpartial z = pi ( 2x (-sen z cdot sen t) cdot y + x^2 cdot 2z e^t ) .
  • Derivando = pi ( -2x sen z sen t cdot y + 2x^2 z e^t ) em relação a :
  • Derivando em relação a :
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 4

Agora, vamos calcular partial Vpartial t = pi ( 2x partial xpartial t cdot y + x^2 partial ypartial t ) .
Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
partial xpartial t = cos z cdot cos t
Precisamos encontrar partial ypartial t = z^2 e^t e partial Vpartial t = pi ( 2x cos z cos t cdot y + x^2 cdot z^2 e^t ) .
  • Derivando em relação a :
  • Derivando em relação a :
Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial Vpartial z = pi ( -2x sen z sen t cdot y + 2x^2 z e^t )

Exercícios relacionados