Calcule as integrais duplas
а) integral0^4 integral0^raizy x-y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla: . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais iteradas, ou seja, integrar uma função em duas variáveis passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a . A integral interna é . Aqui, tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos integrar integral (x - y^2) , dx = 12x^2 - y^2x em relação a . A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é (já que é constante em relação a ). Então:

Passo 4

Agora, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de [ 12x^2 - y^2x ]0^raizy = ( 12(raizy)^2 - y^2(raizy) ) - ( 12(0)^2 - y^2(0) ) a 12y - y^2raizy = 12y - y^52 :
Simplificando:

Passo 5

Agora, nossa integral dupla ficou reduzida a uma integral única em relação a integral0^4 ( 12y - y^52 ) , dy :
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 6

Integrando integral 12y , dy = 12 cdot 12y^2 = 14y^2 em relação a integral y^52 , dy = 152 + 1 y^52 + 1 = 27 y^72 :
E integrando em relação a :

Passo 7

Agora, juntando as integrais:
integral0^4 ( 12y - y^52 ) , dy = [ 14y^2 - 27y^72 ]0^4
Vamos avaliar nos limites de 14(4)^2 - 27(4)^72 = 14(16) - 27(4^3 cdot raiz4) = 4 - 27(64 cdot 2) = 4 - 27(128) = 4 - 2567 a :
Para :
Para , ambos os termos são zero.

Passo 8

Calculando o valor final:
4 - 2567 = 287 - 2567 = -2287 approx -32,57

Resposta

A integral dupla vale , ou aproximadamente .

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c) integral0^1 integral0^x 2 sin (x^3) d y d x
Calcule as integrais iteradas abaixo.
а) integral1^4 integral0^2 6 x^2-2 x d y d x
Calcule o limite dado, usando os teoremas de limite.
b) lim (x, y) (2,-1) 3 x-2 yx+4 y
Ache a derivada parcial indicada:
b) V=pi x^2 y, x=cos z sen t, y=z^2 e^t ; partial Vpartial z, partial Vpartial t