Calcule as integrais duplas
а)
а)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla:
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais iteradas, ou seja, integrar uma função em duas variáveis passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a
. A integral interna é
. Aqui, tratamos
como uma constante porque estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar
em relação a
. A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
(já que
é constante em relação a
). Então:
Passo 4
Agora, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de
a
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, nossa integral dupla ficou reduzida a uma integral única em relação a
:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
E integrando
em relação a
:
Passo 7
Agora, juntando as integrais:
Vamos avaliar nos limites de
a
:
Para
:
Para
, ambos os termos são zero.
Passo 8
Calculando o valor final:
Resposta
A integral dupla vale
, ou aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais duplas
c)
c)
Calcule as integrais iteradas abaixo.
а)
а)
Calcule o limite dado, usando os teoremas de limite.
b)
b)
Ache a derivada parcial indicada:
b)
b)