Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano
e acima do retângulo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de cálculo! O enunciado pede para encontrar o volume de um sólido que está abaixo do plano
e acima de um retângulo
definido por
e
. Vamos usar integração para calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar a equação do plano em função de
. Assim, isolamos
:
Então,
.
Passo 3
Agora, para encontrar o volume abaixo desse plano e acima do retângulo
, vamos calcular uma integral dupla de
sobre a região
. Ou seja:
Passo 4
Vamos definir os limites de integração com base no retângulo
. Temos:
Então, a integral fica:
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 6
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O volume do sólido é 51 unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Ache a derivada parcial indicada:
b)
b)
Calcule o limite dado, usando os teoremas de limite.
b)
b)
Ache a derivada parcial indicada:
e) sent,
e)
Suponha que a equação dada defina z como uma função de x e y. Derive implicitamente para encontrar
e
.
b)
b)