Ache a derivada total
, usando a regra da cadeia:
e
R.:
R.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada total de
em relação a
. A equação que temos é
, onde
e
. Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Regra da Cadeia. Quando temos uma função composta, como
onde
e
são funções de
, a derivada total de
em relação a
é dada por:
Isso significa que a gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, e também as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
. A função
, então derivando em relação a
:
Aqui, usamos a derivada de
que é
e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Da mesma forma, a derivada de
em relação a
é
e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar
e
. Sabemos que:
Aqui, usamos as derivadas básicas das funções trigonométricas.
Passo 6
Agora, vamos substituir tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Isso significa que vamos multiplicar cada derivada parcial pela derivada correspondente de
ou
em relação a
.
Passo 7
Vamos agora substituir
e
na expressão acima:
Aqui, estamos colocando as expressões de
e
de volta na equação para deixar tudo em termos de
.
Passo 8
Agora, vamos expandir as multiplicações:
Simplificando, temos termos que podem ser combinados:
Passo 9
Vamos reorganizar os termos para deixar a expressão mais clara:
Agrupando os termos com
e
:
Resposta
A derivada total de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Ache a derivada total
, usando a regra da cadeia:
e
R.:
(a)
Em uma amostra de material contendo isótopos radioativos, a quantidade de tais isótopos decai exponencialmente, de acordo com a lei
, onde:
-
indica a quantidade de átomos do isótopo, transcorrido tempo ; -
indica a quantidade inicial de átomos do isótopo, quando , e -
é a meia vida do isótopo. Ou seja, o tempo necessário para que metade de uma amostra radioativa decaia.
Em um experimento, determina-se que um quinto dos isótopos radioativos em certa amostra decaíram após três anos.
b) Utilizando, determine quanto tempo é necessário para que restem dois terços da quantidade de isótopos inicialmente presente.
Determine o domínio máximo e a imagem de
.