Ache a derivada total d z/d x, usando a regra da cadeia:
z = v * e^u + u * e^v, u = cos(x) e v = sen x
R.: z' = e^(cos x)(cos x - sen^2 x) + e^(sen x)(cos^2 x - sen x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada total de em relação a . A equação que temos é , onde e . Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Regra da Cadeia. Quando temos uma função composta, como onde e são funções de , a derivada total de em relação a é dada por:
Isso significa que a gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e , e também as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular . A função , então derivando em relação a :
Aqui, usamos a derivada de que é e a derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Da mesma forma, a derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é .

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar e . Sabemos que:
Aqui, usamos as derivadas básicas das funções trigonométricas.

Passo 6

Agora, vamos substituir tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Isso significa que vamos multiplicar cada derivada parcial pela derivada correspondente de ou em relação a .

Passo 7

Vamos agora substituir e na expressão acima:
Aqui, estamos colocando as expressões de e de volta na equação para deixar tudo em termos de .

Passo 8

Agora, vamos expandir as multiplicações:
Simplificando, temos termos que podem ser combinados:

Passo 9

Vamos reorganizar os termos para deixar a expressão mais clara:
Agrupando os termos com e :

Resposta

A derivada total de em relação a é:

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