Ache a derivada total
, usando a regra da cadeia:
e
R.:
R.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada total de
em relação a
. A equação que temos é
, onde
e
. Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Regra da Cadeia. Quando temos uma função composta, como
onde
e
são funções de
, a derivada total de
em relação a
é dada por:
Isso significa que a gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, e também as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
. A função
, então derivando em relação a
:
Aqui, usamos a derivada de
que é
e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Da mesma forma, a derivada de
em relação a
é
e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar
e
. Sabemos que:
Aqui, usamos as derivadas básicas das funções trigonométricas.
Passo 6
Agora, vamos substituir tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Isso significa que vamos multiplicar cada derivada parcial pela derivada correspondente de
ou
em relação a
.
Passo 7
Vamos agora substituir
e
na expressão acima:
Aqui, estamos colocando as expressões de
e
de volta na equação para deixar tudo em termos de
.
Passo 8
Agora, vamos expandir as multiplicações:
Simplificando, temos termos que podem ser combinados:
Passo 9
Vamos reorganizar os termos para deixar a expressão mais clara:
Agrupando os termos com
e
:
Resposta
A derivada total de
em relação a
é: