Ache a derivada total , usando a regra da cadeia:
e
R.:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a derivada total de em relação a . A equação que temos é , onde e . Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Regra da Cadeia. Quando temos uma função composta, como onde e são funções de , a derivada total de em relação a é dada por:
Isso significa que a gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e , e também as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular . A função , então derivando em relação a :
Aqui, usamos a derivada de que é e a derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Da mesma forma, a derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é .

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar e . Sabemos que:
Aqui, usamos as derivadas básicas das funções trigonométricas.

Passo 6

Agora, vamos substituir tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Isso significa que vamos multiplicar cada derivada parcial pela derivada correspondente de ou em relação a .

Passo 7

Vamos agora substituir e na expressão acima:
Aqui, estamos colocando as expressões de e de volta na equação para deixar tudo em termos de .

Passo 8

Agora, vamos expandir as multiplicações:
Simplificando, temos termos que podem ser combinados:

Passo 9

Vamos reorganizar os termos para deixar a expressão mais clara:
Agrupando os termos com e :

Resposta

A derivada total de em relação a é:

Exercícios relacionados

Ache a derivada total , usando a regra da cadeia:
e R.:
(a)
Em uma amostra de material contendo isótopos radioativos, a quantidade de tais isótopos decai exponencialmente, de acordo com a lei , onde:
  • indica a quantidade de átomos do isótopo, transcorrido tempo ;
  • indica a quantidade inicial de átomos do isótopo, quando , e
  • é a meia vida do isótopo. Ou seja, o tempo necessário para que metade de uma amostra radioativa decaia.
    Em um experimento, determina-se que um quinto dos isótopos radioativos em certa amostra decaíram após três anos.
    b) Utilizando , determine quanto tempo é necessário para que restem dois terços da quantidade de isótopos inicialmente presente.
Determine o domínio máximo e a imagem de .