Determine o domínio máximo e a imagem de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o domínio máximo e a imagem da função
. Isso significa descobrir para quais valores de
a função está definida (domínio) e quais são os possíveis valores que
pode assumir (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Como temos raízes quadradas, os argumentos dentro das raízes precisam ser maiores ou iguais a zero, porque não dá para tirar raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais.
Então, temos duas condições:
-
(porque temos ) -
(porque temos )
Vamos resolver a segunda desigualdade:
Agora, para que ambas as condições sejam verdadeiras simultaneamente, precisamos do maior valor entre elas. Ou seja,
deve ser maior ou igual a 4.
Passo 3
Agora que sabemos que
, vamos encontrar a imagem da função
.
Vamos analisar o comportamento da função:
- Quando
: - À medida que
aumenta, tanto quanto aumentam, fazendo com que também aumente sem limite.
Isso significa que o menor valor que
pode assumir é 2, e ela cresce indefinidamente à medida que
aumenta.
Resposta
O domínio máximo da função é
e a imagem é
.
Exercícios relacionados
Em uma amostra de material contendo isótopos radioativos, a quantidade de tais isótopos decai exponencialmente, de acordo com a lei
, onde:
-
indica a quantidade de átomos do isótopo, transcorrido tempo ; -
indica a quantidade inicial de átomos do isótopo, quando , e -
é a meia vida do isótopo. Ou seja, o tempo necessário para que metade de uma amostra radioativa decaia.
Em um experimento, determina-se que um quinto dos isótopos radioativos em certa amostra decaíram após três anos.
b) Utilizando, determine quanto tempo é necessário para que restem dois terços da quantidade de isótopos inicialmente presente.
Ache a derivada total
, usando a regra da cadeia:
e
R.:
R.:
(f)
(Lembre que