Determine o domínio máximo e a imagem de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o domínio máximo e a imagem da função . Isso significa descobrir para quais valores de a função está definida (domínio) e quais são os possíveis valores que pode assumir (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Como temos raízes quadradas, os argumentos dentro das raízes precisam ser maiores ou iguais a zero, porque não dá para tirar raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais.
Então, temos duas condições:
  1. (porque temos )
  2. (porque temos )
Vamos resolver a segunda desigualdade:
Agora, para que ambas as condições sejam verdadeiras simultaneamente, precisamos do maior valor entre elas. Ou seja, deve ser maior ou igual a 4.

Passo 3

Agora que sabemos que , vamos encontrar a imagem da função .
Vamos analisar o comportamento da função:
  • Quando :
  • À medida que aumenta, tanto quanto aumentam, fazendo com que também aumente sem limite.
Isso significa que o menor valor que pode assumir é 2, e ela cresce indefinidamente à medida que aumenta.

Resposta

O domínio máximo da função é e a imagem é .

Exercícios relacionados

Em uma amostra de material contendo isótopos radioativos, a quantidade de tais isótopos decai exponencialmente, de acordo com a lei , onde:
  • indica a quantidade de átomos do isótopo, transcorrido tempo ;
  • indica a quantidade inicial de átomos do isótopo, quando , e
  • é a meia vida do isótopo. Ou seja, o tempo necessário para que metade de uma amostra radioativa decaia.
    Em um experimento, determina-se que um quinto dos isótopos radioativos em certa amostra decaíram após três anos.
    b) Utilizando , determine quanto tempo é necessário para que restem dois terços da quantidade de isótopos inicialmente presente.
Ache a derivada total , usando a regra da cadeia:
e
R.:
(f)
e
(Lembre que ) Resposta: