Ache a derivada total d z/d x, usando a regra da cadeia:
w = raiz(u^2 + v^2 + z^2), u = tan(x), v = cos(x) e z = sen x R.: w' = (tan(x) * sec^2(x)) / raiz(tan^2(x) + 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a derivada total de em relação a , ou seja, . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente a Regra da Cadeia. Para isso, precisamos das funções:

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a encontrar a derivada de uma função composta. No nosso caso, depende de , e , que por sua vez dependem de .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de em relação a , e . Usando a regra das derivadas para funções compostas:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de , e em relação a :

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada total é dada por:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 6

Agora, vamos substituir , e na expressão:

Passo 7

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Isso porque .

Passo 8

Substituindo de volta:
Note que os termos se cancelam, deixando apenas:

Resposta

A derivada total de em relação a é:

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