Ache a derivada total
, usando a regra da cadeia:
e
R.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a derivada total de
em relação a
, ou seja,
. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente a Regra da Cadeia. Para isso, precisamos das funções:
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a encontrar a derivada de uma função composta. No nosso caso,
depende de
,
e
, que por sua vez dependem de
.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Usando a regra das derivadas para funções compostas:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de
,
e
em relação a
:
Passo 5
Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada total
é dada por:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 6
Agora, vamos substituir
,
e
na expressão:
Passo 7
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Isso porque
.
Passo 8
Substituindo de volta:
Note que os termos
se cancelam, deixando apenas:
Resposta
A derivada total de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
(a)
Resolva usando dois métodos diferentes e compare o resultado.
Ache a derivada total
, usando a regra da cadeia:
e
R.:
R.:
Em uma amostra de material contendo isótopos radioativos, a quantidade de tais isótopos decai exponencialmente, de acordo com a lei
, onde:
-
indica a quantidade de átomos do isótopo, transcorrido tempo ; -
indica a quantidade inicial de átomos do isótopo, quando , e -
é a meia vida do isótopo. Ou seja, o tempo necessário para que metade de uma amostra radioativa decaia.
Em um experimento, determina-se que um quinto dos isótopos radioativos em certa amostra decaíram após três anos.
b) Utilizando, determine quanto tempo é necessário para que restem dois terços da quantidade de isótopos inicialmente presente.