Ache a derivada total , usando a regra da cadeia:
e R.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a derivada total de em relação a , ou seja, . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente a Regra da Cadeia. Para isso, precisamos das funções:

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a encontrar a derivada de uma função composta. No nosso caso, depende de , e , que por sua vez dependem de .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de em relação a , e . Usando a regra das derivadas para funções compostas:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de , e em relação a :

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada total é dada por:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 6

Agora, vamos substituir , e na expressão:

Passo 7

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Isso porque .

Passo 8

Substituindo de volta:
Note que os termos se cancelam, deixando apenas:

Resposta

A derivada total de em relação a é:

Exercícios relacionados

(a)
Resolva usando dois métodos diferentes e compare o resultado.
Ache a derivada total , usando a regra da cadeia:
e
R.:
Em uma amostra de material contendo isótopos radioativos, a quantidade de tais isótopos decai exponencialmente, de acordo com a lei , onde:
  • indica a quantidade de átomos do isótopo, transcorrido tempo ;
  • indica a quantidade inicial de átomos do isótopo, quando , e
  • é a meia vida do isótopo. Ou seja, o tempo necessário para que metade de uma amostra radioativa decaia.
    Em um experimento, determina-se que um quinto dos isótopos radioativos em certa amostra decaíram após três anos.
    b) Utilizando , determine quanto tempo é necessário para que restem dois terços da quantidade de isótopos inicialmente presente.